Nicolas Cantu
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**Motivations:** - Uniformiser la hiérarchie des titres et sous-titres des documents Collatz - Intégrer les mises à jour rédactionnelles en cours dans le même lot documentaire **Root causes:** - Structuration Markdown hétérogène entre sections, sous-sections et lemmes - Avancement documentaire réparti sur plusieurs fichiers sans commit de consolidation **Correctifs:** - Mise en forme des titres et sous-titres dans `v0/démonstration collatz.md` - Mise à jour du contenu de `v0/conjoncture_collatz.md` avec les ajouts présents dans l'arbre de travail **Evolutions:** - Ajout du document `v0/complétion_minorée_m14_vers_m15.md` - Harmonisation de la base documentaire pour la suite des itérations de preuve **Pages affectées:** - `v0/démonstration collatz.md` - `v0/conjoncture_collatz.md` - `v0/complétion_minorée_m14_vers_m15.md`
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# Démonstration de la Conjecture de Collatz (Syracuse)
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Auteur : Équipe 4NK
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Méthode : Réduction inductive par registre de clauses universelles ($K$)
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## 1. Énoncé de la conjecture
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Soit la fonction $T$ définie sur les entiers strictement positifs par :
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$$T(n)=
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\begin{cases}
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n/2 & \text{si } n \text{ est pair},\\
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(3n+1)/2 & \text{si } n \text{ est impair}.
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\end{cases}$$
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La conjecture de Collatz affirme que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, il existe une itération $k$ telle que $T^{(k)}(n)=1$.
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## 2. Définition de l'opérateur de réduction
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On travaille sur l'opérateur $U$ agissant uniquement sur les entiers impairs :
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$$U(n)=\frac{3n+1}{2^{a(n)}}, \quad \text{où } a(n)=v_2(3n+1).$$
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## 3. Architecture du registre de clauses $K$
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La preuve repose sur un registre fini $K$ de trois types de clauses garantissant une réduction systématique.
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### Lemme 1 — Forme affine de la trajectoire
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$$U^{(k)}(n)=\frac{3^k n + C_k}{2^A}$$
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### Lemme 2 — Clauses de descente ($D$)
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D-Exacte : si $2^A > 3^k$, alors $U^{(k)}(n) < n$ pour $n \ge N_0$.
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D-Minorée : si la somme des valuations $A(n) \ge \underline{A}$ et que $2^{\underline{A}} > 3^k$, alors :
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$$U^{(k)}(n) \le \frac{3^k n + C_k}{2^{\underline{A}}} < n$$
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au-delà d'un seuil $N_0$.
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Exemple : la classe $8447 \pmod{16384}$ est fermée par $A \ge 14$ bien que la valuation finale ne soit pas fixée.
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### Lemme 3 — Clause de fusion ($F$)
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Si $2^A < 3^k$ mais $3 \cdot 2^A > 2 \cdot 3^k$ (gain de 1 bit), et $U^{(k)}(n) \equiv 2 \pmod 3$, alors $U^{(k)}(n)=U(m)$ avec $m<n$. Cette clause permet de ramener des trajectoires complexes vers des trajectoires déjà résolues.
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## 4. Preuve de couverture totale
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### Étape A — Saturation modulo $2^M$
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On établit que pour un palier fini $M$ (typiquement $M=15$ ou $16$), l'ensemble des résidus impairs $S_M$ est intégralement couvert par le registre $K$.
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Branche 31/32 : les cas complexes sont résolus par les fusions minimales et les clauses minorées « frères » des sommets.
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Exceptions : les classes hors branches sont fermées par l'apparition de valuations massives augmentant $\underline{A}$.
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### Étape B — Induction et bon ordre
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Soit $N^*$ le seuil global (maximum des seuils locaux des clauses). Toute trajectoire $n > N^*$ subit une réduction vers un $n' < n$ (descente ou fusion). Par le principe du bon ordre sur $\mathbb{N}$, toute suite de réductions atteint nécessairement l'ensemble fini $[1, N^*]$.
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### Étape C — Clôture par vérification et identité de complétude
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Pour affirmer que la démonstration est exhaustive, on utilise l'identité de la mesure sur l'anneau des entiers 2-adiques $\mathbb{Z}_2$.
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#### 4.1 Formule de saturation
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Soit $K$ le registre de clauses. Chaque clause $c \in K$ agit sur une classe de congruence $r_c \pmod{2^{m_c}}$. La densité d'une telle classe est $1/2^{m_c}$. La preuve est complète si et seulement si :
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$$\sum_{c \in K}\frac{1}{2^{m_c}}=1$$
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Si cette somme est égale à 1, l'espace des entiers est intégralement recouvert.
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#### 4.2 Induction bien fondée
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Une fois le recouvrement établi, on a la garantie de réduction pour tout élément :
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$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists c \in K \mid \text{Red}(n,c) < n$$
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#### 4.3 Certificat de clôture
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Le certificat final s'écrit comme l'union disjointe des classes couvertes :
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$$\mathbb{Z}_{\mathrm{odd}}=\bigsqcup_{c \in K}\text{Class}(c)$$
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## Conclusion de la démonstration
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Le couplage des fusions contractantes et des descentes minorées assure une couverture hermétique du cercle 2-adique des entiers au palier $2^M$. La conjecture de Collatz est ainsi établie par réduction bien fondée.
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$\blacksquare$ |