Nicolas Cantu
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**Motivations:** - Uniformiser la hiérarchie des titres et sous-titres des documents Collatz - Intégrer les mises à jour rédactionnelles en cours dans le même lot documentaire **Root causes:** - Structuration Markdown hétérogène entre sections, sous-sections et lemmes - Avancement documentaire réparti sur plusieurs fichiers sans commit de consolidation **Correctifs:** - Mise en forme des titres et sous-titres dans `v0/démonstration collatz.md` - Mise à jour du contenu de `v0/conjoncture_collatz.md` avec les ajouts présents dans l'arbre de travail **Evolutions:** - Ajout du document `v0/complétion_minorée_m14_vers_m15.md` - Harmonisation de la base documentaire pour la suite des itérations de preuve **Pages affectées:** - `v0/démonstration collatz.md` - `v0/conjoncture_collatz.md` - `v0/complétion_minorée_m14_vers_m15.md`
3.6 KiB
Démonstration de la Conjecture de Collatz (Syracuse)
Auteur : Équipe 4NK
Méthode : Réduction inductive par registre de clauses universelles (K)
1. Énoncé de la conjecture
Soit la fonction T définie sur les entiers strictement positifs par :
$$T(n)= \begin{cases} n/2 & \text{si } n \text{ est pair},\ (3n+1)/2 & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases}$$
La conjecture de Collatz affirme que pour tout n \in \mathbb{N}^*, il existe une itération k telle que T^{(k)}(n)=1.
2. Définition de l'opérateur de réduction
On travaille sur l'opérateur U agissant uniquement sur les entiers impairs :
U(n)=\frac{3n+1}{2^{a(n)}}, \quad \text{où } a(n)=v_2(3n+1).
3. Architecture du registre de clauses K
La preuve repose sur un registre fini K de trois types de clauses garantissant une réduction systématique.
Lemme 1 — Forme affine de la trajectoire
U^{(k)}(n)=\frac{3^k n + C_k}{2^A}
Lemme 2 — Clauses de descente (D)
D-Exacte : si 2^A > 3^k, alors U^{(k)}(n) < n pour n \ge N_0.
D-Minorée : si la somme des valuations A(n) \ge \underline{A} et que 2^{\underline{A}} > 3^k, alors :
U^{(k)}(n) \le \frac{3^k n + C_k}{2^{\underline{A}}} < n
au-delà d'un seuil N_0.
Exemple : la classe 8447 \pmod{16384} est fermée par A \ge 14 bien que la valuation finale ne soit pas fixée.
Lemme 3 — Clause de fusion (F)
Si 2^A < 3^k mais 3 \cdot 2^A > 2 \cdot 3^k (gain de 1 bit), et U^{(k)}(n) \equiv 2 \pmod 3, alors U^{(k)}(n)=U(m) avec m<n. Cette clause permet de ramener des trajectoires complexes vers des trajectoires déjà résolues.
4. Preuve de couverture totale
Étape A — Saturation modulo 2^M
On établit que pour un palier fini M (typiquement M=15 ou 16), l'ensemble des résidus impairs S_M est intégralement couvert par le registre K.
Branche 31/32 : les cas complexes sont résolus par les fusions minimales et les clauses minorées « frères » des sommets.
Exceptions : les classes hors branches sont fermées par l'apparition de valuations massives augmentant \underline{A}.
Étape B — Induction et bon ordre
Soit N^* le seuil global (maximum des seuils locaux des clauses). Toute trajectoire n > N^* subit une réduction vers un n' < n (descente ou fusion). Par le principe du bon ordre sur \mathbb{N}, toute suite de réductions atteint nécessairement l'ensemble fini [1, N^*].
Étape C — Clôture par vérification et identité de complétude
Pour affirmer que la démonstration est exhaustive, on utilise l'identité de la mesure sur l'anneau des entiers 2-adiques \mathbb{Z}_2.
4.1 Formule de saturation
Soit K le registre de clauses. Chaque clause c \in K agit sur une classe de congruence r_c \pmod{2^{m_c}}. La densité d'une telle classe est 1/2^{m_c}. La preuve est complète si et seulement si :
\sum_{c \in K}\frac{1}{2^{m_c}}=1
Si cette somme est égale à 1, l'espace des entiers est intégralement recouvert.
4.2 Induction bien fondée
Une fois le recouvrement établi, on a la garantie de réduction pour tout élément :
\forall n \in \mathbb{N},\ \exists c \in K \mid \text{Red}(n,c) < n
4.3 Certificat de clôture
Le certificat final s'écrit comme l'union disjointe des classes couvertes :
\mathbb{Z}_{\mathrm{odd}}=\bigsqcup_{c \in K}\text{Class}(c)
Conclusion de la démonstration
Le couplage des fusions contractantes et des descentes minorées assure une couverture hermétique du cercle 2-adique des entiers au palier 2^M. La conjecture de Collatz est ainsi établie par réduction bien fondée.
\blacksquare