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# Guide d’écriture scientifique — Démonstrations mathématiques (niveau recherche)

Périmètre : rédaction d’articles, preuves et travaux de recherche en mathématiques, avec un niveau d’exigence adapté à la recherche avancée.

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## 1. Critères de validité et réfutabilité

Un cadre abstrait peut devenir invulnérable aux critiques s’il est trop flexible.

Trois critères sont adoptés :

- **Réfutabilité** : chaque affirmation doit pouvoir être contredite par un contre-exemple ou une condition explicite non remplie.
- **Indexation des conclusions** : toute conclusion quantitative doit être indexée par les choix qui la rendent possible (mesure de référence, coût, noyau de transition, quotient). Une conclusion « non indexée » n’est acceptée que si elle est invariantement structurelle.
- **Protocoles de robustesse** : lorsqu’une notion est sensible à des choix (par exemple la dominance d’un attracteur selon la mesure), la sensibilité devient un objet d’étude, au moyen de protocoles explicites (familles de mesures, familles de noyaux, variations contrôlées, comparaison multi-granularité).

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## 2. Traçabilité des hypothèses

Chaque résultat doit indiquer les hypothèses exactes qui le rendent vrai : finitude, compacité, monotonie, existence d’une fermeture, présence d’un noyau probabiliste, choix d’une mesure.

### 2.1 Déclaration des dépendances

Toute conclusion quantitative doit être indexée par les choix qui la rendent possible (mesure de référence, coût, noyau de transition, quotient). Une conclusion « non indexée » n’est acceptée que si elle est invariantement structurelle.

### 2.2 Enchaînement hypothèses → résultat

- Avant chaque lemme, proposition ou théorème : énoncer explicitement les hypothèses utilisées dans la preuve.
- Dans la preuve : signaler à quel moment chaque hypothèse est utilisée (par renvoi à la numérotation ou au libellé).
- Éviter les hypothèses implicites ou « évidentes » non écrites.

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## 3. Structure et forme du texte

### 3.1 Titres

- Les titres « Introduction » et « Conclusion » doivent être précisés : « Introduction de … », « Conclusion de … » (objet du chapitre ou de la section).
- Tous les titres d’Introduction et de Conclusion doivent être au niveau `##` (cohérence de la hiérarchie).

### 3.2 Ton et personne

- **Neutralité sémantique** : pas de phrases d’auto‑appréciation ni de jugement sur l’ouvrage, la méthode ou la qualité du travail. Pas d’auto‑promotion, pas d’auto‑évaluation, pas de justification éditoriale.
- **Pas d’adresse au lecteur** : supprimer les passages s’adressant au lecteur, ou les reformuler en énoncés factuels si l’information est pertinente pour la démonstration.
- **Pas de formules introspectives** : supprimer les formules où l’auteur parle de lui-même ou de sa démarche, ou les reformuler en énoncés neutres utiles à la preuve.
- **Pas d’auto-satisfaction** : supprimer les phrases du type « comme si le chapitre était une réponse à une demande spécifique » ou toute formulation auto-congratulante ; reformuler pour n’apporter que ce qui sert la démonstration.

### 3.3 Enchaînements

- Remplacer les enchaînements de type « La continuation “ainsi”… » (réponse à une injonction absente du texte) par une introduction classique des étapes du chapitre.
- Chaque paragraphe ou bloc doit s’enchaîner par le contenu mathématique (définition → lemme → application), pas par des formules méta (« continuons ainsi », « on poursuit de la même manière » sans précision).

### 3.4 Formulations autorisées

- Annonces factuelles et neutres : « On définit… », « On suppose… », « On montre… », « Il s’ensuit… ».
- Références structurelles si nécessaires : « voir Chapitre X », « d’après la Proposition Y », sans qualificatifs évaluatifs.

### 3.5 Formulations interdites

- Qualificatifs sur la qualité du texte : « contribution principale », « conceptuellement décisif », « important », « majeur », « robuste », « rigoureux », « ambitieux ».
- Justifications éditoriales : « le choix est volontairement… », « ce schéma est volontairement… », « cette section sert de verrou… », « priorité strictement… ».
- Toute phrase qui évalue le texte au lieu d’énoncer un fait mathématique.

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## 4. Rédaction des preuves

### 4.1 Structure type d’une preuve

- Énoncé : hypothèses numérotées ou listées, énoncé du résultat.
- Preuve : étapes clairement séparées (par numérotation, sous-paragraphes ou symboles), avec renvoi aux définitions et résultats déjà établis.
- Pas de « il est facile de voir » ou « on laisse au lecteur » sans indication précise ; soit détailler, soit renvoyer à un lemme auxiliaire ou à la littérature avec référence.

### 4.2 Notation et définitions

- Chaque symbole ou notation non standard doit être défini avant usage.
- Réutiliser les conventions du domaine lorsqu’elles existent ; en cas d’écart, le signaler brièvement.
- Éviter les surcharges de notation : une même lettre ne doit pas désigner des objets différents dans un même bloc sans rappel.

### 4.3 Contrôle avant publication

- Relire la sortie et supprimer ou réécrire toute phrase qui (1) juge la qualité ou l’importance du texte, (2) qualifie un choix (« volontairement », « conservateur », etc.), (3) commente l’édition (« verrou », « discipline », etc.).
- En cas d’hésitation : reformuler en énoncé purement descriptif ou supprimer.

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## 5. Protocole de relecture (application à un document)

Pour appliquer ce guide à un texte existant (ex. `v0/conjoncture_collatz.md`) :

1. **Parcourir tout le texte** en vérifiant chaque règle ci-dessus.
2. **Supprimer ou reformuler** :
   - les passages s’adressant au lecteur (ou les reformuler en énoncés factuels utiles à la démonstration) ;
   - les formules introspectives de l’auteur (ou les reformuler en énoncés corrects pour une démonstration scientifique, pas en discussion ou réflexion sur soi) ;
   - l’auto-satisfaction et les phrases donnant l’impression qu’un chapitre ou une partie répond à une demande spécifique ; reformuler pour un apport strictement utile à la démonstration ;
   - les enchaînements du type « La continuation “ainsi”… » ; les remplacer par une introduction classique des étapes du chapitre.
3. **Vérifier les titres** : « Introduction » → « Introduction de … », « Conclusion » → « Conclusion de … » ; niveau `##` pour toutes les Introduction et Conclusion.
4. **Vérifier la neutralité** : aucune auto‑appréciation, auto‑promotion, auto‑évaluation ni justification éditoriale ; uniquement des annonces factuelles et des références structurelles sans qualificatif évaluatif.

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## 6. Synthèse des interdits et des obligations

| À faire | À éviter |
|--------|----------|
| Indexer les conclusions par les choix (mesure, noyau, etc.) | Conclusions non indexées sauf si invariant structurel |
| Énoncer explicitement les hypothèses de chaque résultat | Hypothèses implicites ou « évidentes » |
| Utiliser des protocoles explicites pour les sensibilités aux choix | Traiter la sensibilité comme un défaut sans l’étudier |
| Titres précis : « Introduction de … », « Conclusion de … » | Titres vagues « Introduction », « Conclusion » |
| Formulations neutres : « On définit… », « On montre… » | Auto‑appréciation, jugement, justification éditoriale |
| Enchaînements par le contenu mathématique | Adresse au lecteur, introspection, auto-satisfaction |
| Définir toute notation non standard avant usage | Surcharge ou ambiguïté de notation |

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## 7. Références, citations et antécédents

- **Antécédents** : tout résultat non trivial déjà connu doit être attribué (auteur, référence) ou explicitement posé comme lemme auxiliaire.
- **Citations** : citer la source exacte (théorème, page ou numéro d’équation) pour toute affirmation empruntée ; éviter les références vagues (« il est bien connu que »).
- **Priorité** : en cas de chevauchement avec la littérature, indiquer la différence (hypothèses, cadre, généralisation) sans jugement sur l’importance.
- **Pas de plagiat** : reformuler avec ses propres mots et citer ; les définitions ou énoncés repris mot pour mot doivent être entre guillemets ou en bloc avec référence.

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## 8. Numérotation, renvois et dépendances logiques

- **Cohérence** : théorèmes, propositions, lemmes, définitions, remarques et équations sont numérotés de façon unique et référencés par ce numéro dans tout le texte.
- **Ordre des résultats** : l’enchaînement doit respecter les dépendances logiques ; aucun renvoi à un résultat ou une définition apparaissant plus loin sans annonce explicite (« on verra en … que ») et sans créer de circularité.
- **Renvois internes** : privilégier « par la Proposition 3.2 » plutôt que « comme précédemment » ou « plus haut » lorsque la cible n’est pas immédiate.
- **Équations** : les équations auxquelles on se réfère plus tard sont numérotées ; les équations de calcul intermédiaire peuvent ne pas l’être si elles ne sont pas citées.

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## 9. Quantificateurs, domaines et conditions de validité

- **Quantificateurs explicites** : les énoncés contenant « pour tout », « il existe », « il existe un unique » doivent les faire apparaître clairement (en symboles ou en mots), avec domaine précis.
- **Domaines de définition** : toute fonction, application ou opérateur est défini sur un ensemble explicite (espace, sous-ensemble, conditions sur les paramètres).
- **Conditions de validité** : les hypothèses de régularité (continuité, intégrabilité, etc.) sont énoncées dans l’énoncé du résultat, pas seulement dans la preuve.
- **Cas pathologiques** : si un énoncé exclut des cas limites (par ex. ensemble vide, dimension nulle), le signaler en une phrase ou une remarque.

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## 10. Terminologie et répétition

- **Un concept, un terme** : un même objet mathématique est désigné par le même terme dans tout le document ; pas de synonymes fluctuants pour un même concept sans raison (ex. variante régionale ou historique à signaler).
- **Répétition vs renvoi** : une définition déjà donnée n’est pas redonnée in extenso ; on renvoie à la section ou au numéro. En revanche, une convention locale (ex. « dans cette section, \(G\) désigne … ») peut être rappelée en début de section si le document est long.
- **Abréviations et acronymes** : définir à la première occurrence ; pour un long document, rappeler en note ou en liste si utile.

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## 11. Niveau de détail des preuves

- **Granularité** : le niveau de détail est uniforme pour un même type d’argument (ex. tous les calculs de même nature sont soit détaillés, soit résumés avec renvoi).
- **« Il est facile de voir » / « on vérifie que »** : à proscrire sans suite ; soit donner la ligne de raisonnement en une phrase, soit renvoyer à un lemme ou à une référence.
- **Calculs longs** : les développements calculatoires longs peuvent être reportés en annexe ou en complément, avec énoncé du résultat intermédiaire dans le corps du texte et renvoi.
- **Cas particuliers** : si la preuve traite d’abord un cas simple puis le cas général, l’indiquer clairement (« On traite d’abord le cas … ; le cas général s’en déduit par … »).

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## 12. Conjectures, questions ouvertes et limites

- **Formulation neutre** : les conjectures et questions ouvertes sont énoncées comme telles (« On conjecture que … », « Il serait naturel de se demander si … »), sans surévaluer leur importance ou celle du texte.
- **Limites du cadre** : les hypothèses qui restreignent la portée (ex. dimension finie, cas compact) sont rappelées en conclusion de section ou en remarque si elles ont un impact sur les applications.
- **Extensions possibles** : si des généralisations sont envisageables, les formuler en une phrase factuelle sans auto-évaluation (« Une généralisation à … semble possible » est à éviter ; préférer « Le cas … n’est pas traité ici » ou « Une extension à … ferait l’objet d’un travail ultérieur » seulement si pertinent).

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## 13. Figures, tableaux et annexes

- **Légendes** : chaque figure et chaque tableau a une légende descriptive (ce qui est représenté, paramètres, conditions) et un numéro de référence.
- **Référence dans le texte** : les figures et tableaux sont cités dans le corps du texte (« figure 2 », « tableau 1 ») au moment où ils sont utiles à l’argument.
- **Annexes** : les annexes (preuves complémentaires, calculs, données) sont numérotées et référencées ; le corps du texte ne doit pas dépendre d’une information uniquement en annexe sans renvoi explicite.

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## 14. Prérequis et public cible

- **Prérequis** : indiquer en début d’article ou de chapitre les notions supposées connues (ou les références) pour éviter que le lecteur ne bloque sur un concept non défini.
- **Définitions rappelées** : les définitions standard du domaine peuvent être rappelées brièvement avec une référence ; les définitions non standard doivent être données in extenso.

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## 15. Cohérence temporelle et voix

- **Présent atemporel** : les énoncés mathématiques (définitions, théorèmes, preuves) sont au présent ; le présent décrit un état de fait mathématique, pas un moment de rédaction.
- **Voix** : garder une convention uniforme dans tout le document — soit « on » (« on définit », « on montre »), soit le passif (« il est défini », « il est montré ») ; ne pas alterner sans raison.
- **Futur et conditionnel** : réserver le futur au renvoi explicite à plus loin dans le texte (« on verra en 4.2 que … ») ; éviter le conditionnel pour les énoncés mathématiques (préférer « sous l’hypothèse …, on a … »).

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## 16. Erreurs, errata et corrections

- **Corrections in texte** : si une version antérieure contenait une erreur, ne pas la commenter (« nous corrigeons ici une erreur de … ») ; donner directement l’énoncé et la preuve corrigés. En revanche, un errata publié séparément peut lister les corrections avec référence à l’édition concernée.
- **Hypothèses renforcées ou affaiblies** : si un résultat est repris avec des hypothèses modifiées, l’indiquer factuellement (« Dans ce qui suit, l’hypothèse (H2) est remplacée par (H2′) ») sans justifier éditorialement le changement.
- **Statut des énoncés** : distinguer clairement ce qui est démontré (« Proposition 2.1 »), ce qui est admis (« on admet que … », avec référence), et ce qui est conjecturé (« Conjecture 1 »).

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## 17. Synthèse étendue (interdits et obligations)

| À faire | À éviter |
|--------|----------|
| Indexer les conclusions par les choix (mesure, noyau, etc.) | Conclusions non indexées sauf si invariant structurel |
| Énoncer explicitement les hypothèses de chaque résultat | Hypothèses implicites ou « évidentes » |
| Utiliser des protocoles explicites pour les sensibilités aux choix | Traiter la sensibilité comme un défaut sans l’étudier |
| Titres précis : « Introduction de … », « Conclusion de … » | Titres vagues « Introduction », « Conclusion » |
| Formulations neutres : « On définit… », « On montre… » | Auto‑appréciation, jugement, justification éditoriale |
| Enchaînements par le contenu mathématique | Adresse au lecteur, introspection, auto-satisfaction |
| Définir toute notation non standard avant usage | Surcharge ou ambiguïté de notation |
| Citer la source des résultats empruntés | « Il est bien connu que » sans référence |
| Numéroter et référencer théorèmes, définitions, équations | Renvois vagues (« comme précédemment », « plus haut ») |
| Donner domaines et quantificateurs explicites | Énoncés ambigus sur le domaine de validité |
| Un même concept = un même terme | Synonymes fluctuants pour un même objet |
| Détailler ou renvoyer (lemme / référence) | « Il est facile de voir » sans suite |
| Légender figures et tableaux, les citer dans le texte | Figures orphelines ou non référencées |
| Indiquer les prérequis ou les rappeler avec référence | Notions utilisées sans définition ni référence |
| Utiliser le présent atemporel et une voix uniforme (« on » ou passif) | Mélange de temps ou de voix sans raison |
| Donner l’énoncé corrigé sans commenter l’erreur passée (sauf errata séparé) | Phrase du type « nous corrigeons ici une erreur » dans le corps du texte |
| Distinguer démontré / admis / conjecturé | Affirmation sans statut clair |