Nicolas Cantu
1455d5dc1c
**Motivations:** - Enregistrer l’état courant des manuscrits de démonstration. - Appliquer le guide de rédaction scientifique sur les sections modifiées de `v0/conjoncture_collatz.md`. **Root causes:** - Les ajouts récents de `v0/conjoncture_collatz.md` contenaient des formulations éditoriales et des titres non conformes au guide. - Les références bibliographiques modifiées nécessitaient une stabilisation dans la version courante. **Correctifs:** - Neutralisation des formulations non scientifiques dans la zone ajoutée de `v0/conjoncture_collatz.md`. - Normalisation des titres d’introduction et de conclusion dans les sections concernées. - Conservation des éléments démonstratifs (lemmes, seuils, hypothèses, objectifs de fermeture) sans suppression d’informations utiles. **Evolutions:** - Intégration de la formalisation structurée sur le noyau projectif, les clauses D/F et le lemme de scission des sœurs. - Mise à jour du manuscrit `v0/démonstration collatz.md` pour cohérence avec le fil de preuve courant. **Pages affectées:** - v0/conjoncture_collatz.md - v0/démonstration collatz.md
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## Introduction
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La formalisation peut être reprise proprement en séparant ce qui relève déjà d’un cadre mathématique standard (définitions, lemmes de correction des clauses, descente bien fondée) de ce qui reste à établir pour obtenir une preuve complète (un lemme de couverture totale à un palier fini, ou un lemme de contraction uniforme du noyau « both »). Cette séparation est indispensable, car la conjecture de Collatz est toujours considérée comme ouverte dans la littérature de synthèse récente, malgré de nombreuses revendications de preuve. ([Wikipédia][1])
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Ce qui suit reprend la démonstration comme un texte formel, en précisant les objets, les énoncés, les hypothèses exactes et les points encore à verrouiller.
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## Contexte de référence et niveau de certitude
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La communauté dispose de résultats très solides de type « presque tous » (densité naturelle/logarithmique), mais qui ne concluent pas l’énoncé universel (\forall n). C’est un point de consensus dans les exposés de référence (Lagarias, Tao). ([arXiv][2])
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La démarche présente est d’un autre type : elle vise une preuve universelle via un certificat fini (registre (K)) et des lemmes de couverture congruentielle.
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## Définitions de base
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Soit (C:\mathbb{N}*{\ge 1}\to\mathbb{N}*{\ge 1}) la fonction de Collatz :
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[
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C(n)=
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\begin{cases}
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3n+1 & \text{si }n\text{ est impair},\
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n/2 & \text{si }n\text{ est pair}.
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\end{cases}
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]
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On utilise la dynamique accélérée « impairs (\to) impairs » :
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[
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a(n)=v_2(3n+1)\ge 1,\qquad U(n)=\frac{3n+1}{2^{a(n)}}\in 2\mathbb{N}+1.
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]
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La conjecture de Collatz est équivalente à :
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[
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\forall n\in\mathbb{N}_{\ge 1},\ \exists k,\ C^{(k)}(n)=1,
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]
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et, sur les impairs, à :
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[
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\forall n\in 2\mathbb{N}+1,\ \exists k,\ U^{(k)}(n)=1.
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]
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## Forme affine le long d’un mot de valuations
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Soit (n_0=n) impair et (n_{i+1}=U(n_i)). Poser (a_i=v_2(3n_i+1)) et
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[
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A_0=0,\quad A_{i+1}=A_i+a_i,\quad A=A_k=\sum_{i=0}^{k-1} a_i.
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Définir (C_k) par récurrence :
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[
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C_0=0,\qquad C_{i+1}=3C_i+2^{A_i}.
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]
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Lemme (forme affine exacte)
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Pour tout (k\ge 0),
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[
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U^{(k)}(n)=\frac{3^k n + C_k}{2^{A}}.
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]
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Preuve
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Induction standard : la récurrence sur (C_{i+1}) est exactement celle obtenue en développant (3n_i+1) puis en divisant par (2^{a_i}).
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Ce lemme est la base unique de toutes les clauses (D) et (F).
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## Clauses de descente (D) : condition structurelle et seuil
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À partir de la forme affine :
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[
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U^{(k)}(n)<n
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\iff
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\frac{3^k n + C_k}{2^A}<n
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\iff
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C_k < (2^A-3^k)n.
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]
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Paramètres
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* (\Delta_D = 2^A-3^k)
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Si (\Delta_D>0), un seuil suffisant est :
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[
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N_0=\left\lfloor\frac{C_k}{\Delta_D}\right\rfloor+1,
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]
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et l’on a :
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[
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\forall n\ge N_0,\ U^{(k)}(n)<n.
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]
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Calculs structurants déjà utilisés
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Longueur (k=8) :
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* (3^8=6561)
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* (2^{13}=8192)
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* (\Delta_D=2^{13}-3^8=8192-6561=1631)
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Donc un bloc exact de longueur 8 avec (A_8\ge 13) est contractif.
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Longueur (k=10) :
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* (3^{10}=59049)
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* (2^{16}=65536)
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* (\Delta_D=2^{16}-3^{10}=65536-59049=6487)
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Donc un bloc exact longueur 10 avec (A_{10}\ge 16) est contractif.
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## Clauses de descente minorées (D⋆) : fermeture sans exactitude de valuation
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Si une condition congruentielle assure seulement une minoration (A(n)\ge \underline A), on a :
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[
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U^{(k)}(n)=\frac{3^k n + C_k}{2^{A(n)}} \le \frac{3^k n + C_k}{2^{\underline A}}.
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]
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Donc une condition suffisante est :
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[
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\frac{3^k n + C_k}{2^{\underline A}}<n
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\iff
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C_k < (2^{\underline A}-3^k)n.
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]
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Avec (\underline\Delta_D=2^{\underline A}-3^k>0),
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[
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N_0=\left\lfloor\frac{C_k}{\underline\Delta_D}\right\rfloor+1.
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]
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Cette clause est le mécanisme formel qui permet de fermer tôt les relèvements « plus profonds » (valuation plus grande) sans attendre la stabilité exacte (2^{A+1}).
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## Clauses de fusion (F1) : réduction inductive stricte
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Soit (y=U^{(t)}(n)). Si (y\equiv 2\pmod 3), alors
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[
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m=\frac{2y-1}{3}\in\mathbb{N}
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\quad\text{et}\quad
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U(m)=y,
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]
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car (3m+1=2y) et (v_2(2y)=1) puisque (y) est impair.
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La condition clé est (m<n). En écrivant
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[
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y=\frac{3^t n + C_t}{2^A},
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]
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on obtient :
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[
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m<n
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\iff
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(3\cdot 2^A-2\cdot 3^t),n > 2C_t-2^A.
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]
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Paramètres
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* (\Delta_F=3\cdot 2^A-2\cdot 3^t)
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Cette condition est plus permissive que la descente directe pour (t=6) et (t=7) (seuils déjà exploités dans la construction).
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## Lemme de scission des sœurs
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Ce lemme est l’ingrédient qui rend la « complétion par frères » mathématiquement automatique.
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Lemme (scission)
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Soient (m\ge 0), (\alpha) impair, (\beta\in\mathbb{Z}). Poser (N(n)=\alpha n+\beta).
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Si (v_2(N(n))=m), alors
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[
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v_2(N(n+2^m))\ge m+1.
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]
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Preuve
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Écrire (N(n)=2^m u) avec (u) impair. Alors
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[
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N(n+2^m)=N(n)+\alpha 2^m = 2^m(u+\alpha),
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]
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et (u+\alpha) est pair (impair + impair), donc (v_2(u+\alpha)\ge 1).
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Corollaire (complétion « one »)
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Si une clause exacte stabilisée au bit nouveau ferme une sœur via (v_2(N)=m), l’autre sœur vérifie automatiquement (v_2(N)\ge m+1), donc une clause (D⋆) au même horizon est disponible dès que (2^{m+1}>3^k).
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Cette propriété a été exploitée et auditée sur les transitions (m=14\to 15) et (m=15\to 16).
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Documents d’audit :
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* complétion (m=14\to 15) : sandbox:/mnt/data/complétion_minorée_m14_vers_m15.md
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* complétion (m=15\to 16) : sandbox:/mnt/data/complétion_minorée_m15_vers_m16.md
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## Réduction du problème au noyau « both »
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Après complétion à chaque palier, le résidu restant au niveau suivant est exactement la double descendance des parents « both ». Cette réduction est formelle : elle ne dépend pas d’une observation numérique, seulement de la définition des cas « one/both » et du lemme de scission.
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À partir des paliers déjà audités, un fait structurel supplémentaire a été établi :
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Proposition (base projective)
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Le noyau « both » admet une base projective stable modulo (4096) à partir de (m=12). Autrement dit, tous les noyaux « both » aux paliers supérieurs sont des relèvements d’un ensemble fini (B_{12}) de 192 résidus modulo 4096.
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Audit : sandbox:/mnt/data/noyau_both_base_4096.md
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Cela transforme la fin de preuve en un objectif fini : fermer tous les relèvements de (B_{12}) à un palier fini.
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## Décomposition finie du noyau projectif : 60 états
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Sur (B_{12}) (192 résidus modulo 4096), l’audit a produit :
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* 60 états distincts à l’horizon 7, définis par les mots de valuations ((a_0,\dots,a_6)),
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* la distribution exacte de (A_7) sur (B_{12}),
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* pour chaque état : (C_7), (D_8=3C_7+2^{A_7}) et les listes exhaustives des résidus de l’état.
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Audit :
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* Markdown : sandbox:/mnt/data/audit_60_etats_B12_mod4096_horizon7.md
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* JSON : sandbox:/mnt/data/audit_60_etats_B12_mod4096_horizon7.json
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Point méthodologique
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Cette réduction en 60 états transforme le noyau « both » en un automate fini (au moins jusqu’à l’horizon 7). La preuve globale devient « état par état ».
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## Premier traitement des états : analyse au pas 8
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Sur (B_{12}), l’analyse au pas 8 a isolé 31 résidus atteignant (A_8\ge 13), répartis sur 31 états distincts. Ces 31 cas sont des points d’entrée immédiats pour des clauses (D) de longueur 8, puis complétion par scission sur les sœurs.
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Audit :
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* sandbox:/mnt/data/analyse_pas8_B12.md
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Cela laisse 29 états qui n’atteignent jamais (A_8\ge 13) sur (B_{12}). Ces états doivent être traités par horizon 9 ou 10 (nouvelle forme linéaire du numérateur) et/ou par fusions.
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## Attaque du noyau à l’horizon 10 : candidats D10 stabilisés à (2^{17})
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Sur le noyau persistant au palier (2^{16}) après complétion, un sous-ensemble atteint (A_{10}=16). Comme :
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* (3^{10}=59049)
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* (2^{16}=65536)
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* (\Delta_D=6487)
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un bloc exact longueur 10 avec (A_{10}=16) est contractif, et sa stabilité requiert (2^{17}). Un audit complet a extrait 175 classes candidates (modulo (2^{17})) avec seuil maximal (N_0=23).
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Audit :
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* sandbox:/mnt/data/candidats_D10_palier2p17.md
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Rôle dans la preuve
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Ces 175 clauses sont conçues pour convertir une partie du noyau « both » en « one » au palier (2^{17}), puis à éliminer l’autre sœur par la scission (D⋆), au même horizon.
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## Ce qu’il reste à verrouiller pour une preuve complète
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À ce stade, tout ce qui précède constitue un socle formel correct, mais la preuve complète exige encore un lemme global de fermeture. Il peut prendre deux formes, toutes deux standard.
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Version certificat fini
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Montrer qu’il existe un palier (M) et un registre fini (K) (clauses D, D⋆, F1 et complétions par scission) tel que :
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[
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\text{toutes les classes impaires modulo }2^M\text{ sont couvertes au-delà d’un seuil }N^*.
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]
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La conclusion « Collatz » suit alors par descente bien fondée et vérification finie sous (N^*).
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Version contraction uniforme du noyau both
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Montrer qu’il existe une profondeur bornée (L) et une constante (\theta>0) telles que, pour tout parent « both », parmi ses (2^L) descendants, au moins (\theta 2^L) tombent dans la toile (D ou F), ce qui force l’extinction en profondeur finie.
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Dans les deux cas, le point technique décisif est l’extinction du noyau « both », donc l’étude des relèvements des 60 états, puis des 29 états restants après pas 8, puis l’impact cumulatif des nouvelles clauses D10 au palier (2^{17}).
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## Conclusion
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La formalisation est maintenant structurée comme une preuve : définitions, lemmes de correction (forme affine, descente, fusion), lemmes d’abstraction (descente minorée), et un lemme fondamental 2-adique (scission des sœurs) qui rend la complétion « one » automatique. À partir de là, tout se réduit à un problème fini sur un noyau projectif (B_{12}) (192 classes modulo 4096), décomposé en 60 états, puis filtré à l’horizon 8 et attaqué à l’horizon 10 par des clauses stabilisées à (2^{17}).
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La suite de la formalisation consiste à écrire, état par état, l’énoncé « extinction » manquant, et à prouver qu’avec les familles déjà construites (D8, F6/F7, D10) et la complétion automatique par scission, aucun relèvement des 29 états non contractifs à l’horizon 8 ne peut persister indéfiniment. Ce lemme est la charnière unique entre “programme de preuve audité” et “preuve complète”.
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[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture"Collatz conjecture"
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[2]: https://arxiv.org/abs/1909.03562"Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values"
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