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Généalogies et lignées de formes

Introduction

Ce chapitre introduit la notion de lignée comme une structure combinatoire orientée décrivant la transmission de formes sous contraintes d’irréversibilité et de non‑injectivité. Le point de départ est une exigence minimale : une relation d’engendrement doit être orientée, mais l’orientation ne peut pas être imposée par un « temps » externe ; elle doit être reconstruite à partir des règles mêmes qui produisent les occurrences. La formalisation s’effectue donc en deux temps : d’abord la construction d’un graphe orienté de lignée à partir d’événements d’engendrement ; ensuite l’introduction d’objets transmissibles (attributs, classes, signatures) qui survivent malgré les collisions et la perte d’inversibilité.

Dans ce cadre, « transmettre » ne signifie ni « copier », ni « conserver », mais « produire une descendance relationnelle en préservant certains invariants ». L’enjeu n’est pas d’attribuer une finalité à cette persistance : l’objectif est au contraire de montrer comment une sélection structurelle peut émerger comme effet de filtrage et de conditionnement, sans hypothèse téléologique.

La rédaction maintient une priorité mathématique stricte. Les termes chargés de connotations (lignée, héritage, sélection) sont d’abord définis comme objets formels. Les lectures externes possibles (informationnelles, physiques, ou relatives à des systèmes de transmission concrets) ne sont proposées qu’en fin de chapitre, une fois le formalisme fermé.

Préliminaires de théorie des graphes orientés

Graphes orientés, multigraphes, hypergraphes

Définition (graphe orienté).
Un graphe orienté est un couple G=(V,E) où V est un ensemble de sommets et E\subseteq V\times V un ensemble d’arêtes orientées. Une arête (u,v)\in E est notée u\to v.

Définition (multigraphe orienté).
Un multigraphe orienté autorise plusieurs arêtes distinctes de u vers v. On le modélise par une multiplicité m:V\times V\to \mathbb{N}.

Définition (hyperarête dirigée).
Une hyperarête dirigée est une paire (P,c) où P est un multiensemble fini de sommets (les entrées) et c\in V est un sommet (la sortie). On note P\Rightarrow c. L’arité est |P|.

Le passage d’un hypergraphe à un graphe ordinaire se fait en remplaçant P\Rightarrow c par les arêtes p\to c pour p\in P, ce qui conserve l’information d’ascendance mais pas nécessairement l’information d’arité.

Degrés, parents, enfants

Définition (degré entrant et sortant).
Le degré entrant de v est \deg^-(v)=|\{u\in V:u\to v\}|.
Le degré sortant de v est \deg^+(v)=|\{u\in V:v\to u\}|.

Définition (ensemble des parents et des enfants).

\mathrm{Par}(v)=\{u\in V:u\to v\},\qquad \mathrm{Enf}(v)=\{u\in V:v\to u\}.

Ces notions permettent de discuter de branchement, sans présumer d’un mécanisme de copie.

Chemins, atteignabilité, ascendance

Définition (chemin orienté).
Un chemin orienté de u vers v est une suite (v_0,\dots,v_k) telle que v_0=u, v_k=v et v_i\to v_{i+1} pour tout i\in\{0,\dots,k-1\}. Sa longueur est k.

Définition (atteignabilité).
On note u\to^\* v l’existence d’un chemin orienté de u vers v.

Définition (relation d’ascendance).
On définit \preceq_G par

u\preceq_G v \quad \Longleftrightarrow \quad u\to^\* v.

Cette relation est réflexive et transitive.

Définition (ancêtres et descendants).

\mathrm{Anc}(v)=\{u\in V:u\preceq_G v\},\qquad \mathrm{Desc}(u)=\{v\in V:u\preceq_G v\}.

Cycles, DAG et ordre topologique

Définition (cycle orienté).
Un cycle orienté est un chemin (v_0,\dots,v_k) avec k\ge 1 tel que v_0=v_k et v_0,\dots,v_{k-1} distincts.

Définition (DAG).
Un DAG est un graphe orienté sans cycle orienté.

Définition (ordre topologique).
Un ordre topologique d’un DAG fini est une bijection \tau:V\to\{1,\dots,|V|\} telle que u\to v\Rightarrow \tau(u)<\tau(v).

Proposition (existence d’un ordre topologique).
Tout DAG fini admet un ordre topologique.

Ordre partiel, antichaînes, générations

Proposition (ordre partiel induit).
Si G est un DAG, alors \preceq_G est un ordre partiel (réflexif, antisymétrique, transitif).

Définition (antichaîne).
Un ensemble A\subseteq V est une antichaîne si, pour tout u\neq v dans A, ni u\preceq_G v ni v\preceq_G u.

Définition (racines, profondeur, générations).
Un sommet r est une racine si \deg^-(r)=0.
La profondeur (dans un DAG) est

\mathrm{depth}(v)=\max\{k:\exists (v_0,\dots,v_k)\ \text{chemin avec}\ v_k=v\}.

La génération n est V_n=\{v\in V:\mathrm{depth}(v)=n\}.

Construction d’un graphe orienté de lignée

Occurrences et types

Pour obtenir un objet « généalogique », il faut distinguer deux niveaux :

• niveau des occurrences, qui sont singulières et ne se répètent pas ;
• niveau des types (formes), qui peuvent réapparaître par collision ou normalisation.

Le graphe de lignée portera sur les occurrences.

Définition (ensemble d’occurrences).
On fixe un ensemble V d’occurrences. Une occurrence est un jeton abstrait représentant un événement singulier dans l’histoire.

Définition (ensemble de types et étiquetage).
Soit X un ensemble de types. Un étiquetage est une application

\ell:V\to X.

Deux occurrences distinctes v\neq v' peuvent partager le même type \ell(v)=\ell(v').

Événements d’engendrement comme hyperarêtes

Définition (événement d’engendrement).
Un événement est une paire (P,c) où :

• P=(p_1,\dots,p_k)\in V^k est une liste d’occurrences parentales,
• c\in V est l’occurrence enfant,
• k\ge 1 est l’arité.

L’ensemble des événements est \mathcal{E}\subseteq \bigsqcup_{k\ge 1} (V^k\times V).

Définition (hypergraphe d’engendrement).
Le hypergraphe est \mathcal{H}=(V,\mathcal{E}) dont les hyperarêtes sont P\Rightarrow c.

Définition (graphe de lignée associé).
Le graphe orienté associé est \mathcal{T}=(V,E) avec

E=\{(p_i,c): (P,c)\in\mathcal{E},\ P=(p_1,\dots,p_k),\ i\in\{1,\dots,k\}\}.

Définition (lignée).
La lignée est la relation d’ascendance \preceq_{\mathcal{T}}. Une branche est un chemin maximal (par inclusion). Une chaîne est un sous‑ensemble totalement ordonné pour \preceq_{\mathcal{T}}.

Représentation bipartite des événements

Dans certains raisonnements, conserver l’information d’arité est essentiel. Une représentation standard consiste à introduire explicitement les événements comme nœuds d’un graphe bipartite.

Définition (graphe d’incidence bipartite).
On définit un graphe orienté bipartite \mathcal{B}=(V\sqcup \mathcal{E},E_B) par :

• pour tout événement e=(P,c) et tout parent p\in P, une arête p\to e ;
• une arête e\to c.

Proposition (équivalence d’ascendance).
La relation d’ascendance entre occurrences induite par \mathcal{B} restreinte à V coïncide avec celle induite par \mathcal{T}, tout en permettant d’exprimer explicitement l’arité et le coût éventuel de l’événement.

Cette représentation évite d’attribuer au seul degré entrant d’un sommet le sens d’une arité, car un même sommet peut avoir plusieurs événements créateurs selon le modèle retenu (ici on en impose au plus un, mais la représentation reste utile pour la discussion des coûts).

Acyclicité par construction inductive

Axiome (création).
Chaque occurrence c\in V admet au plus un événement créateur e_c\in\mathcal{E} tel que c soit l’enfant de e_c. Les occurrences sans événement créateur sont des racines.

Axiome (engendrement vers l’inédit).
Il existe une filtration V^{(0)}\subset V^{(1)}\subset \dots telle que :

• V^{(0)} est l’ensemble des racines,
• si (P,c) est le (n)-ième événement, alors P\subseteq V^{(n-1)} et c\in V^{(n)}\setminus V^{(n-1)}.

Proposition (acyclicité).
Sous ces axiomes, \mathcal{T} est un DAG.

Preuve.
Toute arête p\to c va d’un sommet déjà présent dans V^{(n-1)} vers un sommet nouvellement introduit dans V^{(n)}. La fonction \tau(c)=n est alors un ordre topologique : p\to c\Rightarrow \tau(p)<\tau(c). Un cycle orienté violerait cette strict inégalité. □

Monotone de lignée issu d’une ressource non réutilisable

Définition (jetons consommés).
Soit \Omega un ensemble de jetons. À chaque événement e\in\mathcal{E}, on associe un ensemble fini J(e)\subset\Omega de jetons consommés.

Axiome (non‑réutilisation).

e\neq e' \Longrightarrow J(e)\cap J(e')=\varnothing.

Définition (coût).
Le coût est w(e)=|J(e)|\in\mathbb{N}.

Définition (coût cumulatif).
On définit C:V\to\mathbb{N} par récurrence :

• si v est une racine, C(v)=0 ;
• si v est créé par e_v=(P,v), alors

C(v)=\max_{p\in P} C(p) + w(e_v).

Proposition (monotonicité stricte).
Si p\to v est une arête (avec p\in P pour l’événement créateur de v) et si w(e_v)\ge 1, alors C(p)<C(v).

Preuve.
Par définition, C(v)\ge C(p)+w(e_v)\ge C(p)+1. □

Corollaire.
La fonction \widetilde{C}(v)=-C(v) est strictement décroissante le long des arêtes. La lignée est donc orientée par un monotone strict dérivé de la consommation.

Le point important est que la répétition d’un type \ell(v) n’implique aucun retour : la croissance de C rend la répétition compatible avec l’irréversibilité.

Héritage sans essence : attributs, quotient, signature

Attributs et règles d’héritage

Définition (espace d’attributs).
Soit \mathcal{A} un ensemble d’attributs.

Définition (étiquetage d’attribut).
Un étiquetage est a:V\to\mathcal{A}.

Définition (règle d’héritage).
Pour un événement e=(P,c) d’arité k, une règle d’héritage est

H_e:\mathcal{A}^k\to\mathcal{A}

telle que a(c)=H_e(a(p_1),\dots,a(p_k)).

Définition (collision d’héritage).
Il y a collision si

\exists e\neq e',\ \exists P,P' \text{ tels que } H_e(a(P))=H_{e'}(a(P')).

La collision formelle suffit à exprimer la non‑reconstructibilité de l’origine.

Équivalences, signatures et grammaire de classes

Définition (équivalence sur les types).
Soit \sim une équivalence sur X. Elle induit une équivalence sur V par v\sim_V v'\iff \ell(v)\sim \ell(v').

Définition (signature).
Une signature est une application \sigma:X\to\Sigma vers un ensemble fini \Sigma telle que x\sim y\Rightarrow \sigma(x)=\sigma(y). On définit \bar{\sigma}=\sigma\circ \ell:V\to\Sigma.

Définition (compatibilité de l’héritage avec la signature).
Pour chaque événement e d’arité k, il existe une application \widehat{H}_e:\Sigma^k\to\Sigma telle que

\bar{\sigma}(c)=\widehat{H}_e\big(\bar{\sigma}(p_1),\dots,\bar{\sigma}(p_k)\big).

Cette définition transforme l’héritage en une opération sur un alphabet fini, sans postuler un mécanisme de copie.

Accumulation structurale et héritage des collisions passées

Quotient de lignée et coalescence au niveau signature

Définition (quotient des occurrences par signature).
On définit v\equiv v' par \bar{\sigma}(v)=\bar{\sigma}(v'). Le quotient est V/{\equiv}, naturellement indexé par \Sigma.

Définition (graphe de signatures).
On définit G_\Sigma=(\Sigma,E_\Sigma) par

(\alpha,\beta)\in E_\Sigma \Longleftrightarrow \exists u\to v\ \text{dans}\ \mathcal{T}\ \text{avec}\ \bar{\sigma}(u)=\alpha,\ \bar{\sigma}(v)=\beta.

Proposition (cycles possibles sur les classes).
Il est possible que G_\Sigma contienne des cycles même si \mathcal{T} est un DAG.

Cette proposition formalise l’idée suivante : la lignée (sur occurrences) encode une antériorité irréversible, tandis que la dynamique sur classes (signatures) peut réutiliser une même classe, car une classe peut être atteinte à des instants distincts et depuis des histoires distinctes.

Accumulateur d’histoire sur DAG

Définition (monoïde d’agrégation).
Soit (\mathcal{M},\oplus,0) un monoïde commutatif.

Définition (accumulateur local).
Une application m:V\to\mathcal{M} fournit une contribution locale.

Définition (accumulateur historique).
Sur le DAG \mathcal{T}, on définit M:V\to\mathcal{M} par récurrence :

M(v)=m(v)\ \oplus\ \bigoplus_{u\in \mathrm{Par}(v)} \big(W(u,v)\odot M(u)\big),

où W(u,v) est un poids et \odot une action compatible.

Proposition (bien‑définition).
Un ordre topologique de \mathcal{T} garantit la définition sans ambiguïté de M.

Mémoire des collisions

Définition (collision informationnelle).
Une collision au niveau signature est une paire d’occurrences v\neq v' telle que \bar{\sigma}(v)=\bar{\sigma}(v').

Proposition (héritage des collisions passées).
Si \bar{\sigma}(v)=\bar{\sigma}(v') mais M(v)\neq M(v'), alors la classe transmissible \bar{\sigma} ne suffit pas à déterminer l’histoire accumulée. La collision transforme des histoires distinctes en un même état observable au niveau classe, tout en laissant subsister une multiplicité d’histoires possibles au niveau des contraintes cumulées.

Cette proposition, formulée sans lecture externe, capture l’idée que « la fusion devient un fait hérité » : la non‑injectivité n’efface pas le passé, elle le rend indistinct.

Exemple calculé : comptage de signatures

Paramètres

• Alphabet \Sigma=\{A,B,C\}.
• Monoïde \mathcal{M}=\mathbb{N}^3 avec addition composante par composante et neutre (0,0,0).
• m(v)=e_{\bar{\sigma}(v)} où e_A=(1,0,0), e_B=(0,1,0), e_C=(0,0,1).
• W(u,v)=1, \odot triviale.

DAG

• Sommets v_0,v_1,v_2,v_3.
• Arêtes v_0\to v_2, v_1\to v_2, v_2\to v_3.
• Signatures \bar{\sigma}(v_0)=A, \bar{\sigma}(v_1)=B, \bar{\sigma}(v_2)=A, \bar{\sigma}(v_3)=C.

Calculs détaillés

• M(v_0)=m(v_0)=(1,0,0).
• M(v_1)=m(v_1)=(0,1,0).
• Parents de v_2 : \mathrm{Par}(v_2)=\{v_0,v_1\}.

  
  M(v_2)=m(v_2)\oplus M(v_0)\oplus M(v_1)
  

  m(v_2)=(1,0,0).
  M(v_0)\oplus M(v_1)=(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0).
  Donc M(v_2)=(1,0,0)+(1,1,0)=(2,1,0).
• Parents de v_3 : \mathrm{Par}(v_3)=\{v_2\}.

  
  M(v_3)=m(v_3)\oplus M(v_2)
  

  m(v_3)=(0,0,1).
  Donc M(v_3)=(0,0,1)+(2,1,0)=(2,1,1).

Conclusion de l’exemple
La signature C n’informe pas sur la composition historique. L’accumulateur M encode une mémoire strictement croissante sur le DAG. La ré‑apparition de A illustre que des classes peuvent se répéter sans annuler l’histoire : c’est exactement le régime où des structures transmissibles persistent malgré les collisions.

Disparition des branches instables

Filtre de viabilité et élagage

Définition (prédicat de viabilité).
Un prédicat est P:V\to\{0,1\}. Un sommet est viable si P(v)=1.

Définition (sous‑DAG viable).

V_P=\{v\in V:P(v)=1\},\qquad E_P=E\cap (V_P\times V_P).

Le sous‑graphe G_P=(V_P,E_P) est le résultat d’un élagage.

Proposition (idempotence).
\mathfrak{E}(\mathfrak{E}(\mathcal{T}))=\mathfrak{E}(\mathcal{T}).

Définition (branche stable).
Dans un DAG infini, une branche est stable si elle contient une infinité de sommets viables.

Modèle stochastique minimal : processus de branchement

Définition.
Soit K une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N}. On définit

Z_0=1,\qquad Z_{n+1}=\sum_{i=1}^{Z_n} K_i,

où (K_i) sont i.i.d. de loi K.

Définition (moyenne).

\mu=\mathbb{E}[K].

Théorème (critère standard).
Sous des hypothèses usuelles : si \mu\le 1 extinction presque sûre, si \mu>1 survie avec probabilité strictement positive.

Ce résultat exprime la disparition des branches instables sans hypothèse d’optimisation.

Sélection sans finalité

Mesures sur les générations

Définition (poids).
Un poids est w:V\to \mathbb{R}_+. Exemples formels :

• w(v)=g(M(v)) pour une fonction g,
• w(v)=|\mathrm{Desc}(v)\cap V_{n+k}| (descendance à horizon k),
• w(v)=\mathbb{P}(P(v)=1 \mid \text{informations}).

Définition (mesure normalisée).
Sur V_n,

\pi_n(v)=\frac{w(v)}{\sum_{u\in V_n} w(u)}.

Proposition (sélection).
La sélection est définie ici comme la concentration de \pi_n sur un sous‑ensemble strict de V_n. La concentration résulte d’inégalités de poids, donc d’inégalités de croissance ou de viabilité, sans finalité.

Effet de conditionnement

Conditionner sur la non‑extinction modifie la distribution observée. Les histoires compatibles avec la survie sont sur‑représentées, ce qui crée un effet directionnel apparent sans nécessiter d’objectif.

Interprétations après formalisation

Lecture informationnelle

• \bar{\sigma} représente une compression en classes.
• G_\Sigma rend visible l’héritage des collisions : retours sur classes sans retour sur occurrences.
• M est une mémoire distribuée définie sur un DAG.

Lecture cosmologique minimale

• C impose une flèche d’antériorité dérivée.
• Les lignées persistantes deviennent des contraintes héritées qui restreignent l’espace des transformations futures.

Lecture relative à des systèmes de transmission concrets

• Les hyperarêtes P\Rightarrow c modélisent des opérations à arité finie.
• Les collisions expriment l’impossibilité structurelle de reconstruire une origine à partir du seul résultat normalisé.

Références consensuelles utiles

• Reinhard Diestel, Graph Theory (théorie des graphes).
• Theodore E. Harris, The Theory of Branching Processes (processus de branchement).
• Krishna B. Athreya, Peter E. Ney, Branching Processes (processus de branchement).

Conclusion

Les graphes orientés de lignées ont été introduits explicitement comme l’image combinatoire d’événements d’engendrement sur un ensemble d’occurrences, distinct du niveau des types. Une règle minimale de création orientée rend le graphe acyclique, et la consommation irréversible fournit un monotone cumulatif quantifiant l’histoire. L’héritage est formalisé par des règles sur attributs, puis ramené à des signatures discrètes par quotient, ce qui rend la perte d’identifiabilité structurelle. L’accumulation structurale est définie par un accumulateur sur DAG, et l’héritage des collisions passées apparaît lorsque plusieurs histoires se projettent sur la même signature malgré des historiques cumulés distincts. Enfin, la disparition des branches instables et la sélection sans finalité se décrivent par filtrage de viabilité, dynamique de branchement et concentration de mesure.

Le résultat logique est désormais établi : certaines structures transmissibles persistent sous contraintes, indépendamment de toute finalité. La suite naturelle est l’étude de ces structures persistantes comme contraintes actives sur l’espace des futurs admissibles.