Extend Collatz conjecture working notes
**Motivations :** - Keep v0 Collatz conjecture document up to date with new material. **Root causes :** - N/A (content update) **Correctifs :** - N/A **Evolutions :** - Add 302 lines to v0/conjoncture_collatz.md. **Page affectées :** - v0/conjoncture_collatz.md Co-authored-by: Cursor <cursoragent@cursor.com>
This commit is contained in:
parent
46598916a1
commit
98ed067b25
@ -4453,3 +4453,305 @@ La démonstration progresse de manière strictement contrôlée : au niveau (512
|
||||
|
||||
La suite de la démonstration suit exactement la même logique : affiner les résidus restants au niveau (2048) (clauses avec (2^{A_k+1}=2048)), ce qui ferme déjà plusieurs éléments du résidu (par exemple des classes comme (79), (315), (391), (475), (287) admettent des blocs de descente avec (A_k=10)), puis réserver les mécanismes de fusion (F) aux poches où (A_k) devient trop grand de façon persistante (familles de type (27), (31), (63), (127), etc.). Si la continuation doit se faire immédiatement, l’étape suivante peut être écrite en commençant par les clauses (2^{11}) les plus courtes, puis en mettant à jour, de façon exhaustive, le résidu restant modulo (2048).
|
||||
|
||||
## Introduction
|
||||
|
||||
La démonstration peut maintenant être poursuivie à un niveau où l’affinement (2)-adique devient un objet de preuve à part entière : fixer une résolution (2^m), puis fermer (par clauses universelles) toutes les classes impaires modulo (2^m) qui admettent un bloc contractif dont la somme de valuations (A_k) reste (\le m-1). Ce palier est important parce qu’il transforme l’intuition « beaucoup de classes descendent vite » en une assertion certifiée et localisée, et isole explicitement les classes qui exigent soit une résolution plus fine ((m) plus grand), soit un mécanisme supplémentaire de compression (fusion, contraintes mixtes).
|
||||
|
||||
La suite ci-dessous fixe d’abord le palier (m=11) (modulo (2^{11}=2048)), établit des clauses (D) typiques (avec calculs complets), puis donne la liste exhaustive du résidu non fermé à ce palier. Ensuite, le palier (m=12) (modulo (4096)) est engagé sur les premiers cas où (A_k=11), ce qui produit immédiatement un nouvel ensemble de clauses certifiées.
|
||||
|
||||
## Palier (2^{11}=2048)
|
||||
|
||||
### Proposition de fermeture au palier (2^{11})
|
||||
|
||||
Soit (r) un résidu impair modulo (2048). S’il existe un horizon (k) et un bloc de valuations ((a_0,\dots,a_{k-1})) rencontré sur la trajectoire (U) du représentant (n_0=r) tel que :
|
||||
|
||||
* (A_k=\sum_{i=0}^{k-1} a_i \le 10)
|
||||
* (\Delta_k=2^{A_k}-3^k>0)
|
||||
|
||||
alors la clause universelle suivante est valide sur la classe (n\equiv r\pmod{2^{A_k+1}}) (donc a fortiori sur (n\equiv r\pmod{2048}), puisque (2^{A_k+1}\mid 2048)) :
|
||||
|
||||
[
|
||||
\forall n\ \text{impair},\ n\equiv r\pmod{2^{A_k+1}},\ n\ge N_0
|
||||
\Longrightarrow
|
||||
U^{(k)}(n)<n,
|
||||
]
|
||||
où
|
||||
[
|
||||
N_0=\left\lfloor\frac{C_k}{2^{A_k}-3^k}\right\rfloor+1,
|
||||
\qquad
|
||||
C_0=0,\quad C_{i+1}=3C_i+2^{A_i}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Le point clé est la stabilité : si (n\equiv r\pmod{2048}) et (A_k\le 10), alors (n-r) est multiple de (2^{11}), donc multiple de (2^{A_k+1}), ce qui fige le bloc de valuations sur (k) pas.
|
||||
|
||||
### Résultat de couverture interne aux quatre branches difficiles modulo 32
|
||||
|
||||
Les clauses de type V et les clauses de type D à module faible ferment déjà toutes les classes sauf celles vérifiant
|
||||
[
|
||||
n\equiv 7,\ 15,\ 27,\ 31 \pmod{32}.
|
||||
]
|
||||
À résolution (2048), chacune de ces quatre branches contient (64) résidus (car (2048/32=64)).
|
||||
|
||||
En appliquant le critère ci-dessus (existence d’un bloc contractif avec (A_k\le 10)), le calcul déterministe donne :
|
||||
|
||||
* branche (7\pmod{32}) : (32) résidus fermés au palier (2^{11}), (32) résidus restant ouverts
|
||||
* branche (15\pmod{32}) : (32) résidus fermés, (32) restant ouverts
|
||||
* branche (27\pmod{32}) : (32) résidus fermés, (32) restant ouverts
|
||||
* branche (31\pmod{32}) : (10) résidus fermés, (54) restant ouverts
|
||||
|
||||
Donc, au palier (2048), le résidu dur total dans ces quatre branches contient
|
||||
[
|
||||
32+32+32+54 = 150\ \text{résidus impairs modulo}\ 2048.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Ce résidu est, par construction, composé uniquement de classes dont toute clause (D) obtenue par bloc de valuations exactes exige au moins (A_k\ge 11), donc un module minimal (2^{A_k+1}\ge 4096).
|
||||
|
||||
## Clauses (D) typiques au palier (2^{11}) avec audit complet
|
||||
|
||||
Les quatre exemples suivants correspondent à une clause par branche, et illustrent la mécanique complète « congruence (\Rightarrow) valuations figées (\Rightarrow) forme affine (\Rightarrow) seuil (\Rightarrow) descente universelle ».
|
||||
|
||||
### Exemple dans la branche (7\pmod{32}) : classe (n\equiv 7\pmod{256})
|
||||
|
||||
Données
|
||||
|
||||
* congruence : (n\equiv 7\pmod{256})
|
||||
* horizon : (k=4)
|
||||
* valuations : ([1,1,2,3])
|
||||
|
||||
Somme des valuations
|
||||
|
||||
* (A_4=1+1+2+3=7)
|
||||
|
||||
Terme additif (C_4)
|
||||
|
||||
* (A_0=0,\ C_0=0)
|
||||
* (C_1=3\cdot 0 + 2^{0}=1)
|
||||
* (C_2=3\cdot 1 + 2^{1}=5)
|
||||
* (C_3=3\cdot 5 + 2^{2}=19)
|
||||
* (C_4=3\cdot 19 + 2^{4}=73)
|
||||
|
||||
Forme affine
|
||||
|
||||
* (3^4=81)
|
||||
* (2^{A_4}=2^7=128)
|
||||
[
|
||||
U^{(4)}(n)=\frac{81n+73}{128}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Résidu structurel
|
||||
[
|
||||
\Delta=2^{A_4}-3^4 = 128-81 = 47>0.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Seuil
|
||||
|
||||
* (\left\lfloor 73/47\right\rfloor = 1)
|
||||
* (N_0=1+1=2)
|
||||
|
||||
Clause
|
||||
[
|
||||
\forall n\ \text{impair},\ n\equiv 7\pmod{256},\ n\ge 2\Longrightarrow U^{(4)}(n)<n.
|
||||
]
|
||||
|
||||
### Exemple dans la branche (15\pmod{32}) : classe (n\equiv 143\pmod{256})
|
||||
|
||||
Données
|
||||
|
||||
* congruence : (n\equiv 143\pmod{256})
|
||||
* horizon : (k=4)
|
||||
* valuations : ([1,1,1,4])
|
||||
|
||||
Somme
|
||||
|
||||
* (A_4=1+1+1+4=7)
|
||||
|
||||
Terme additif
|
||||
|
||||
* mêmes (C_i) jusqu’à (C_4) (la récurrence dépend seulement de (A_i), et ici (A_0,A_1,A_2,A_3,A_4=(0,1,2,3,7)))
|
||||
* (C_4=65)
|
||||
|
||||
Forme affine
|
||||
[
|
||||
U^{(4)}(n)=\frac{81n+65}{128}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Résidu structurel
|
||||
[
|
||||
\Delta=128-81=47>0.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Seuil
|
||||
|
||||
* (\left\lfloor 65/47\right\rfloor = 1)
|
||||
* (N_0=2)
|
||||
|
||||
Clause
|
||||
[
|
||||
\forall n\ \text{impair},\ n\equiv 143\pmod{256},\ n\ge 2\Longrightarrow U^{(4)}(n)<n.
|
||||
]
|
||||
|
||||
### Exemple dans la branche (27\pmod{32}) : classe (n\equiv 187\pmod{256})
|
||||
|
||||
Données
|
||||
|
||||
* congruence : (n\equiv 187\pmod{256})
|
||||
* horizon : (k=4)
|
||||
* valuations : ([1,2,1,3])
|
||||
|
||||
Somme
|
||||
|
||||
* (A_4=1+2+1+3=7)
|
||||
|
||||
Terme additif
|
||||
|
||||
* (C_4=85)
|
||||
|
||||
Forme affine
|
||||
[
|
||||
U^{(4)}(n)=\frac{81n+85}{128}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Résidu structurel
|
||||
[
|
||||
\Delta=128-81=47>0.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Seuil
|
||||
|
||||
* (\left\lfloor 85/47\right\rfloor = 1)
|
||||
* (N_0=2)
|
||||
|
||||
Clause
|
||||
[
|
||||
\forall n\ \text{impair},\ n\equiv 187\pmod{256},\ n\ge 2\Longrightarrow U^{(4)}(n)<n.
|
||||
]
|
||||
|
||||
### Exemple dans la branche (31\pmod{32}) : classe (n\equiv 287\pmod{2048})
|
||||
|
||||
Données
|
||||
|
||||
* congruence : (n\equiv 287\pmod{2048})
|
||||
* horizon : (k=6)
|
||||
* valuations : ([1,1,1,1,2,4])
|
||||
|
||||
Somme
|
||||
|
||||
* (A_6=1+1+1+1+2+4=10)
|
||||
|
||||
Terme additif (C_6)
|
||||
|
||||
* (A_0=0,\ C_0=0)
|
||||
* (C_1=1)
|
||||
* (C_2=5)
|
||||
* (C_3=19)
|
||||
* (C_4=65)
|
||||
* (C_5=3\cdot 65 + 2^{4}=211) (car (A_4=4))
|
||||
* (C_6=3\cdot 211 + 2^{6}=697) (car (A_5=6))
|
||||
|
||||
Forme affine
|
||||
|
||||
* (3^6=729)
|
||||
* (2^{A_6}=2^{10}=1024)
|
||||
[
|
||||
U^{(6)}(n)=\frac{729n+697}{1024}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Résidu structurel
|
||||
[
|
||||
\Delta = 2^{10}-3^6 = 1024-729 = 295>0.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Seuil
|
||||
|
||||
* (\left\lfloor 697/295\right\rfloor = 2)
|
||||
* (N_0=3)
|
||||
|
||||
Clause
|
||||
[
|
||||
\forall n\ \text{impair},\ n\equiv 287\pmod{2048},\ n\ge 3\Longrightarrow U^{(6)}(n)<n.
|
||||
]
|
||||
|
||||
## Résidu restant au palier 2048
|
||||
|
||||
Les résidus impairs modulo (2048) qui restent ouverts au palier (2^{11}) (c’est-à-dire ne possèdent pas de clause (D) dérivable d’un bloc contractif avec (A_k\le 10)) sont, de manière exhaustive, les suivants, regroupés par branche modulo (32).
|
||||
|
||||
### Résidu restant dans la branche (7\pmod{32}) (32 résidus)
|
||||
|
||||
[
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
&71, 103, 167, 231, 327, 359, 423, 487, 583, 615, 679, 743, 839, 871, 935, 999,\
|
||||
&1095, 1127, 1191, 1255, 1351, 1383, 1415, 1511, 1575, 1639, 1703, 1735, 1767, 1863, 1895, 1959
|
||||
\end{aligned}
|
||||
]
|
||||
|
||||
### Résidu restant dans la branche (15\pmod{32}) (32 résidus)
|
||||
|
||||
[
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
&47, 111, 207, 239, 303, 367, 463, 495, 559, 623, 719, 751, 783, 879, 943, 1007,\
|
||||
&1071, 1103, 1135, 1231, 1263, 1327, 1487, 1519, 1583, 1647, 1743, 1775, 1839, 1903, 1999, 2031
|
||||
\end{aligned}
|
||||
]
|
||||
|
||||
### Résidu restant dans la branche (27\pmod{32}) (32 résidus)
|
||||
|
||||
[
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
&27, 91, 155, 251, 283, 347, 411, 507, 539, 603, 667, 763, 795, 859, 923, 1019,\
|
||||
&1051, 1115, 1179, 1275, 1307, 1339, 1435, 1499, 1563, 1627, 1659, 1691, 1787, 1819, 1883, 2043
|
||||
\end{aligned}
|
||||
]
|
||||
|
||||
### Résidu restant dans la branche (31\pmod{32}) (54 résidus)
|
||||
|
||||
[
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
&31, 63, 127, 159, 191, 223, 255, 319, 383, 415, 447, 479, 511, 543, 575, 639, 671, 703, 735, 767,\
|
||||
&799, 831, 895, 927, 959, 991, 1023, 1055, 1087, 1151, 1183, 1215, 1247, 1279, 1311, 1343,\
|
||||
&1407, 1439, 1471, 1503, 1535, 1567, 1663, 1695, 1727, 1791, 1823, 1855, 1887, 1919, 1951, 1983, 2015, 2047
|
||||
\end{aligned}
|
||||
]
|
||||
|
||||
## Palier (2^{12}=4096) engagé sur les cas (A_k=11)
|
||||
|
||||
Le fait même qu’un résidu reste ouvert au palier (2048) implique que toute clause (D) obtenue par valuations exactes nécessite (A_k\ge 11), donc un module minimal (2^{A_k+1}\ge 4096). Le premier sous-palier utile est donc d’extraire les classes dont le premier bloc contractif vérifie exactement (A_k=11), car elles se ferment immédiatement au module (4096).
|
||||
|
||||
Les résidus (modulo (4096), donc avec congruence exacte modulo (2^{12})) qui admettent un premier bloc contractif avec (A_k=11) sont les suivants (liste exhaustive issue du calcul), chacun ayant (N_0=1) :
|
||||
|
||||
* (n\equiv 367\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=745), (\Delta=2^{11}-3^6=2048-729=1319), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 423\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=881), (\Delta=1319), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 507\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=1085), (\Delta=1319), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 575\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=665), (\Delta=1319), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 783\pmod{4096}), (k=4), (A_k=11), (C_k=65), (\Delta=2^{11}-3^4=2048-81=1967), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 923\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=925), (\Delta=1319), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 1103\pmod{4096}), (k=5), (A_k=11), (C_k=259), (\Delta=2^{11}-3^5=2048-243=1805), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 1311\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=697), (\Delta=1319), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 1339\pmod{4096}), (k=4), (A_k=11), (C_k=85), (\Delta=1967), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 1575\pmod{4096}), (k=5), (A_k=11), (C_k=251), (\Delta=1805), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 1659\pmod{4096}), (k=5), (A_k=11), (C_k=319), (\Delta=1805), (N_0=1)
|
||||
* (n\equiv 1839\pmod{4096}), (k=6), (A_k=11), (C_k=809), (\Delta=1319), (N_0=1)
|
||||
|
||||
Ces clauses constituent le premier “gain sûr” au palier (4096), et illustrent un fait important : certaines classes difficiles au palier (2048) deviennent immédiatement contractives dès que le module minimal requis ((2^{12})) est atteint.
|
||||
|
||||
## Indication explicite de la difficulté restante
|
||||
|
||||
Pour le résidu restant après ce sous-palier, les paramètres ((k,A_k)) du premier bloc contractif peuvent devenir très grands, ce qui rend la poursuite par simple affinement binaire coûteuse. Quelques exemples caractéristiques (calcul direct sur représentants) :
|
||||
|
||||
* (n_0=27) : premier bloc contractif à (k=37), (A_k=59), (N_0=9)
|
||||
* (n_0=31) : (k=35), (A_k=56), (N_0=5)
|
||||
* (n_0=47) : (k=34), (A_k=55), (N_0=3)
|
||||
* (n_0=63) : (k=34), (A_k=54), (N_0=37)
|
||||
* (n_0=71) : (k=32), (A_k=51), (N_0=15)
|
||||
* (n_0=1583) : (k=49), (A_k=81), (N_0=1)
|
||||
* (n_0=1407) : (k=51), (A_k=84), (N_0=1)
|
||||
* (n_0=703) : (k=51), (A_k=83), (N_0=1)
|
||||
* (n_0=1055) : (k=50), (A_k=82), (N_0=1)
|
||||
* (n_0=2047) : (k=36), (A_k=58), (N_0=3)
|
||||
|
||||
Cela montre pourquoi, au-delà d’un certain seuil, la stratégie “uniquement clauses (D) par valuations exactes” tend à exploser : le module minimal (2^{A_k+1}) devient gigantesque, donc la clause devient extrêmement fine et n’apporte presque aucune couverture globale.
|
||||
|
||||
## Conclusion
|
||||
|
||||
La démonstration a franchi un palier méthodologique : à résolution (2^{11}=2048), une partie substantielle des classes dans les quatre branches difficiles ((7,15,27,31)\pmod{32}) est fermée par clauses universelles (D) issues de blocs contractifs avec (A_k\le 10), et le résidu non fermé est donné explicitement sous forme de 150 résidus modulo 2048, exhaustivement listés.
|
||||
|
||||
Le palier (2^{12}=4096) est engagé par la fermeture immédiate des cas où (A_k=11), produisant 12 nouvelles clauses certifiées avec (N_0=1). La suite logique de la démonstration est désormais déterminée : poursuivre ces paliers ((A_k=12), puis (13), etc.) ferme progressivement des classes supplémentaires, mais l’existence de cas où (A_k) atteint 50, 60, voire 80 indique qu’une clôture complète exigera, à un moment, un mécanisme de compression plus fort que l’affinement binaire pur, typiquement des clauses de fusion (F) ou des contraintes mixtes impliquant aussi une structure modulo (3^b).
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user