# Audit des 60 états du noyau both au module 4096

## Introduction

Ce document d’audit associe à chaque résidu du noyau projectif B12 (192 résidus impairs modulo 4096) l’état arithmétique défini par le mot de valuations
a0..a6 = v2(3n_i+1) le long de la dynamique U (impairs → impairs) sur 7 itérations.
Chaque état est une classe de mots de valuations observés sur B12 ; le document fournit la table des 60 états et la liste exhaustive des résidus qui les réalisent.

## Données de base

- Module : 4096
- Taille de B12 : 192
- Nombre d’états distincts à l’horizon 7 : 60

Distribution de la somme A = Σ_{i=0..6} a_i sur B12 :
- A = 7 : 16
- A = 8 : 48
- A = 9 : 68
- A = 10 : 48
- A = 11 : 12

## Définitions

- U(n) = (3n+1)/2^{v2(3n+1)} pour n impair.
- Mot de valuations : (a0,…,a6) avec a_i = v2(3n_i+1), n_{i+1}=U(n_i).
- Somme A = Σ a_i sur 7 pas.
- Terme additif C7 : C0=0, C_{i+1}=3C_i+2^{A_i} avec A_i=Σ_{j<i} a_j.
- Forme affine : U^{(7)}(n) = (3^7 n + C7)/2^{A}.
- Terme structurant pas 8 : D8 = 3*C7 + 2^{A} (numérateur de 3n7+1 : 3^8 n + D8).

## Table des états

|   État | Mot (a0..a6)   |   Somme A |   Effectif |   C7 |   D8 = 3*C7 + 2^A |   n7 mod 3 |   n7 mod 2187 |
|-------:|:---------------|----------:|-----------:|-----:|------------------:|-----------:|--------------:|
|      1 | 1 1 1 1 1 1 1  |         7 |         16 | 2059 |              6305 |          2 |          2186 |
|      2 | 1 1 1 1 1 1 2  |         8 |          8 | 2059 |              6433 |          1 |          1093 |
|      3 | 1 1 1 1 1 2 1  |         8 |          8 | 2123 |              6625 |          2 |          1640 |
|      4 | 1 1 1 1 2 1 1  |         8 |          8 | 2219 |              6913 |          2 |          1367 |
|      5 | 1 1 1 2 1 1 1  |         8 |          8 | 2363 |              7345 |          2 |          2051 |
|      6 | 1 1 2 1 1 1 1  |         8 |          8 | 2579 |              7993 |          2 |           890 |
|      7 | 1 2 1 1 1 1 1  |         8 |          8 | 2903 |              8965 |          2 |           242 |
|      8 | 1 1 1 1 1 1 3  |         9 |          4 | 2059 |              6689 |          2 |          1640 |
|      9 | 1 1 1 1 1 2 2  |         9 |          4 | 2123 |              6881 |          1 |           820 |
|     10 | 1 1 1 1 1 3 1  |         9 |          4 | 2251 |              7265 |          2 |          1367 |
|     11 | 1 1 1 1 2 1 2  |         9 |          4 | 2219 |              7169 |          1 |          1777 |
|     12 | 1 1 1 1 2 2 1  |         9 |          4 | 2347 |              7553 |          2 |           137 |
|     13 | 1 1 1 1 3 1 1  |         9 |          4 | 2539 |              8129 |          2 |          2051 |
|     14 | 1 1 1 2 1 1 2  |         9 |          4 | 2363 |              7601 |          1 |          2119 |
|     15 | 1 1 1 2 1 2 1  |         9 |          4 | 2491 |              7985 |          2 |           479 |
|     16 | 1 1 1 2 2 1 1  |         9 |          4 | 2683 |              8561 |          2 |           206 |
|     17 | 1 1 2 1 1 1 2  |         9 |          4 | 2579 |              8249 |          1 |           445 |
|     18 | 1 1 2 1 1 2 1  |         9 |          4 | 2707 |              8633 |          2 |           992 |
|     19 | 1 1 2 1 2 1 1  |         9 |          4 | 2899 |              9209 |          2 |           719 |
|     20 | 1 1 2 2 1 1 1  |         9 |          4 | 3187 |             10073 |          2 |          1403 |
|     21 | 1 2 1 1 1 1 2  |         9 |          4 | 2903 |              9221 |          1 |           121 |
|     22 | 1 2 1 1 1 2 1  |         9 |          4 | 3031 |              9605 |          2 |           668 |
|     23 | 1 2 1 1 2 1 1  |         9 |          4 | 3223 |             10181 |          2 |           395 |
|     24 | 1 2 1 2 1 1 1  |         9 |          4 | 3511 |             11045 |          2 |          1079 |
|     25 | 1 1 1 1 1 1 4  |        10 |          2 | 2059 |              7201 |          1 |           820 |
|     26 | 1 1 1 1 1 2 3  |        10 |          2 | 2123 |              7393 |          2 |           410 |
|     27 | 1 1 1 1 1 3 2  |        10 |          2 | 2251 |              7777 |          1 |          1777 |
|     28 | 1 1 1 1 1 4 1  |        10 |          2 | 2507 |              8545 |          2 |           137 |
|     29 | 1 1 1 1 2 1 3  |        10 |          2 | 2219 |              7681 |          2 |          1982 |
|     30 | 1 1 1 1 2 2 2  |        10 |          2 | 2347 |              8065 |          1 |          1162 |
|     31 | 1 1 1 1 3 1 2  |        10 |          2 | 2539 |              8641 |          1 |          2119 |
|     32 | 1 1 1 1 3 2 1  |        10 |          2 | 2795 |              9409 |          2 |           479 |
|     33 | 1 1 1 2 1 1 3  |        10 |          2 | 2363 |              8113 |          2 |          2153 |
|     34 | 1 1 1 2 1 2 2  |        10 |          2 | 2491 |              8497 |          1 |          1333 |
|     35 | 1 1 1 2 2 1 2  |        10 |          2 | 2683 |              9073 |          1 |           103 |
|     36 | 1 1 1 2 2 2 1  |        10 |          2 | 2939 |              9841 |          2 |           650 |
|     37 | 1 1 2 1 1 1 3  |        10 |          2 | 2579 |              8761 |          2 |          1316 |
|     38 | 1 1 2 1 1 2 2  |        10 |          2 | 2707 |              9145 |          1 |           496 |
|     39 | 1 1 2 1 2 1 2  |        10 |          2 | 2899 |              9721 |          1 |          1453 |
|     40 | 1 1 2 1 2 2 1  |        10 |          2 | 3155 |             10489 |          2 |          2000 |
|     41 | 1 1 2 2 1 1 2  |        10 |          2 | 3187 |             10585 |          1 |          1795 |
|     42 | 1 1 2 2 1 2 1  |        10 |          2 | 3443 |             11353 |          2 |           155 |
|     43 | 1 2 1 1 1 1 3  |        10 |          2 | 2903 |              9733 |          2 |          1154 |
|     44 | 1 2 1 1 1 2 2  |        10 |          2 | 3031 |             10117 |          1 |           334 |
|     45 | 1 2 1 1 2 1 2  |        10 |          2 | 3223 |             10693 |          1 |          1291 |
|     46 | 1 2 1 1 2 2 1  |        10 |          2 | 3479 |             11461 |          2 |          1838 |
|     47 | 1 2 1 2 1 1 2  |        10 |          2 | 3511 |             11557 |          1 |          1633 |
|     48 | 1 2 1 2 1 2 1  |        10 |          2 | 3767 |             12325 |          2 |          2180 |
|     49 | 1 1 1 1 1 2 4  |        11 |          1 | 2123 |              8417 |          1 |           205 |
|     50 | 1 1 1 1 1 4 2  |        11 |          1 | 2507 |              9569 |          1 |          1162 |
|     51 | 1 1 1 1 2 1 4  |        11 |          1 | 2219 |              8705 |          1 |           991 |
|     52 | 1 1 1 1 3 2 2  |        11 |          1 | 2795 |             10433 |          1 |          1333 |
|     53 | 1 1 1 2 1 1 4  |        11 |          1 | 2363 |              9137 |          1 |          2170 |
|     54 | 1 1 1 2 2 2 2  |        11 |          1 | 2939 |             10865 |          1 |           325 |
|     55 | 1 1 2 1 1 1 4  |        11 |          1 | 2579 |              9785 |          1 |           658 |
|     56 | 1 1 2 1 2 2 2  |        11 |          1 | 3155 |             11513 |          1 |          1000 |
|     57 | 1 1 2 2 1 2 2  |        11 |          1 | 3443 |             12377 |          1 |          1171 |
|     58 | 1 2 1 1 1 1 4  |        11 |          1 | 2903 |             10757 |          1 |           577 |
|     59 | 1 2 1 1 2 2 2  |        11 |          1 | 3479 |             12485 |          1 |           919 |
|     60 | 1 2 1 2 1 2 2  |        11 |          1 | 3767 |             13349 |          1 |          1090 |

## Liste exhaustive des résidus par état

### État 1

- Mot : 1 1 1 1 1 1 1
- Somme A : 7
- C7 : 2059
- D8 : 6305
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 16 :
  255, 511, 767, 1023, 1279, 1535, 1791, 2047, 2303, 2559, 2815, 3071, 3327, 3583, 3839, 4095

### État 2

- Mot : 1 1 1 1 1 1 2
- Somme A : 8
- C7 : 2059
- D8 : 6433
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 8 :
  127, 639, 1151, 1663, 2175, 2687, 3199, 3711

### État 3

- Mot : 1 1 1 1 1 2 1
- Somme A : 8
- C7 : 2123
- D8 : 6625
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 8 :
  447, 959, 1471, 1983, 2495, 3007, 3519, 4031

### État 4

- Mot : 1 1 1 1 2 1 1
- Somme A : 8
- C7 : 2219
- D8 : 6913
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 8 :
  159, 671, 1183, 1695, 2207, 2719, 3231, 3743

### État 5

- Mot : 1 1 1 2 1 1 1
- Somme A : 8
- C7 : 2363
- D8 : 7345
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 8 :
  239, 751, 1263, 1775, 2287, 2799, 3311, 3823

### État 6

- Mot : 1 1 2 1 1 1 1
- Somme A : 8
- C7 : 2579
- D8 : 7993
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 8 :
  359, 871, 1383, 1895, 2407, 2919, 3431, 3943

### État 7

- Mot : 1 2 1 1 1 1 1
- Somme A : 8
- C7 : 2903
- D8 : 8965
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 8 :
  283, 795, 1307, 1819, 2331, 2843, 3355, 3867

### État 8

- Mot : 1 1 1 1 1 1 3
- Somme A : 9
- C7 : 2059
- D8 : 6689
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  895, 1919, 2943, 3967

### État 9

- Mot : 1 1 1 1 1 2 2
- Somme A : 9
- C7 : 2123
- D8 : 6881
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  703, 1727, 2751, 3775

### État 10

- Mot : 1 1 1 1 1 3 1
- Somme A : 9
- C7 : 2251
- D8 : 7265
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  319, 1343, 2367, 3391

### État 11

- Mot : 1 1 1 1 2 1 2
- Somme A : 9
- C7 : 2219
- D8 : 7169
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  415, 1439, 2463, 3487

### État 12

- Mot : 1 1 1 1 2 2 1
- Somme A : 9
- C7 : 2347
- D8 : 7553
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  31, 1055, 2079, 3103

### État 13

- Mot : 1 1 1 1 3 1 1
- Somme A : 9
- C7 : 2539
- D8 : 8129
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  479, 1503, 2527, 3551

### État 14

- Mot : 1 1 1 2 1 1 2
- Somme A : 9
- C7 : 2363
- D8 : 7601
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  495, 1519, 2543, 3567

### État 15

- Mot : 1 1 1 2 1 2 1
- Somme A : 9
- C7 : 2491
- D8 : 7985
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  111, 1135, 2159, 3183

### État 16

- Mot : 1 1 1 2 2 1 1
- Somme A : 9
- C7 : 2683
- D8 : 8561
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  559, 1583, 2607, 3631

### État 17

- Mot : 1 1 2 1 1 1 2
- Somme A : 9
- C7 : 2579
- D8 : 8249
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  103, 1127, 2151, 3175

### État 18

- Mot : 1 1 2 1 1 2 1
- Somme A : 9
- C7 : 2707
- D8 : 8633
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  743, 1767, 2791, 3815

### État 19

- Mot : 1 1 2 1 2 1 1
- Somme A : 9
- C7 : 2899
- D8 : 9209
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  167, 1191, 2215, 3239

### État 20

- Mot : 1 1 2 2 1 1 1
- Somme A : 9
- C7 : 3187
- D8 : 10073
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  327, 1351, 2375, 3399

### État 21

- Mot : 1 2 1 1 1 1 2
- Somme A : 9
- C7 : 2903
- D8 : 9221
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  27, 1051, 2075, 3099

### État 22

- Mot : 1 2 1 1 1 2 1
- Somme A : 9
- C7 : 3031
- D8 : 9605
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  667, 1691, 2715, 3739

### État 23

- Mot : 1 2 1 1 2 1 1
- Somme A : 9
- C7 : 3223
- D8 : 10181
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  91, 1115, 2139, 3163

### État 24

- Mot : 1 2 1 2 1 1 1
- Somme A : 9
- C7 : 3511
- D8 : 11045
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 4 :
  251, 1275, 2299, 3323

### État 25

- Mot : 1 1 1 1 1 1 4
- Somme A : 10
- C7 : 2059
- D8 : 7201
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1407, 3455

### État 26

- Mot : 1 1 1 1 1 2 3
- Somme A : 10
- C7 : 2123
- D8 : 7393
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1215, 3263

### État 27

- Mot : 1 1 1 1 1 3 2
- Somme A : 10
- C7 : 2251
- D8 : 7777
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  831, 2879

### État 28

- Mot : 1 1 1 1 1 4 1
- Somme A : 10
- C7 : 2507
- D8 : 8545
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  63, 2111

### État 29

- Mot : 1 1 1 1 2 1 3
- Somme A : 10
- C7 : 2219
- D8 : 7681
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1951, 3999

### État 30

- Mot : 1 1 1 1 2 2 2
- Somme A : 10
- C7 : 2347
- D8 : 8065
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1567, 3615

### État 31

- Mot : 1 1 1 1 3 1 2
- Somme A : 10
- C7 : 2539
- D8 : 8641
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  991, 3039

### État 32

- Mot : 1 1 1 1 3 2 1
- Somme A : 10
- C7 : 2795
- D8 : 9409
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  223, 2271

### État 33

- Mot : 1 1 1 2 1 1 3
- Somme A : 10
- C7 : 2363
- D8 : 8113
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1007, 3055

### État 34

- Mot : 1 1 1 2 1 2 2
- Somme A : 10
- C7 : 2491
- D8 : 8497
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  623, 2671

### État 35

- Mot : 1 1 1 2 2 1 2
- Somme A : 10
- C7 : 2683
- D8 : 9073
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  47, 2095

### État 36

- Mot : 1 1 1 2 2 2 1
- Somme A : 10
- C7 : 2939
- D8 : 9841
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1327, 3375

### État 37

- Mot : 1 1 2 1 1 1 3
- Somme A : 10
- C7 : 2579
- D8 : 8761
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1639, 3687

### État 38

- Mot : 1 1 2 1 1 2 2
- Somme A : 10
- C7 : 2707
- D8 : 9145
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1255, 3303

### État 39

- Mot : 1 1 2 1 2 1 2
- Somme A : 10
- C7 : 2899
- D8 : 9721
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  679, 2727

### État 40

- Mot : 1 1 2 1 2 2 1
- Somme A : 10
- C7 : 3155
- D8 : 10489
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1959, 4007

### État 41

- Mot : 1 1 2 2 1 1 2
- Somme A : 10
- C7 : 3187
- D8 : 10585
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  839, 2887

### État 42

- Mot : 1 1 2 2 1 2 1
- Somme A : 10
- C7 : 3443
- D8 : 11353
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  71, 2119

### État 43

- Mot : 1 2 1 1 1 1 3
- Somme A : 10
- C7 : 2903
- D8 : 9733
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1563, 3611

### État 44

- Mot : 1 2 1 1 1 2 2
- Somme A : 10
- C7 : 3031
- D8 : 10117
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1179, 3227

### État 45

- Mot : 1 2 1 1 2 1 2
- Somme A : 10
- C7 : 3223
- D8 : 10693
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  603, 2651

### État 46

- Mot : 1 2 1 1 2 2 1
- Somme A : 10
- C7 : 3479
- D8 : 11461
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  1883, 3931

### État 47

- Mot : 1 2 1 2 1 1 2
- Somme A : 10
- C7 : 3511
- D8 : 11557
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  763, 2811

### État 48

- Mot : 1 2 1 2 1 2 1
- Somme A : 10
- C7 : 3767
- D8 : 12325
- n7 mod 3 : 2
- Résidus (mod 4096), effectif 2 :
  2043, 4091

### État 49

- Mot : 1 1 1 1 1 2 4
- Somme A : 11
- C7 : 2123
- D8 : 8417
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  191

### État 50

- Mot : 1 1 1 1 1 4 2
- Somme A : 11
- C7 : 2507
- D8 : 9569
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  3135

### État 51

- Mot : 1 1 1 1 2 1 4
- Somme A : 11
- C7 : 2219
- D8 : 8705
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  927

### État 52

- Mot : 1 1 1 1 3 2 2
- Somme A : 11
- C7 : 2795
- D8 : 10433
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  1247

### État 53

- Mot : 1 1 1 2 1 1 4
- Somme A : 11
- C7 : 2363
- D8 : 9137
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  4079

### État 54

- Mot : 1 1 1 2 2 2 2
- Somme A : 11
- C7 : 2939
- D8 : 10865
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  303

### État 55

- Mot : 1 1 2 1 1 1 4
- Somme A : 11
- C7 : 2579
- D8 : 9785
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  2663

### État 56

- Mot : 1 1 2 1 2 2 2
- Somme A : 11
- C7 : 3155
- D8 : 11513
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  2983

### État 57

- Mot : 1 1 2 2 1 2 2
- Somme A : 11
- C7 : 3443
- D8 : 12377
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  1095

### État 58

- Mot : 1 2 1 1 1 1 4
- Somme A : 11
- C7 : 2903
- D8 : 10757
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  539

### État 59

- Mot : 1 2 1 1 2 2 2
- Somme A : 11
- C7 : 3479
- D8 : 12485
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  859

### État 60

- Mot : 1 2 1 2 1 2 2
- Somme A : 11
- C7 : 3767
- D8 : 13349
- n7 mod 3 : 1
- Résidus (mod 4096), effectif 1 :
  3067

## Conclusion

L’audit fournit une décomposition finie du noyau projectif B12 en 60 états (mots de valuations sur 7 pas), ainsi que, pour chaque état, les constantes (C7, D8) nécessaires pour analyser le pas 8 via la forme linéaire 3^8 n + D8. Cette représentation permet un traitement état par état par clauses de fusion (F) et de descente (D), puis l’étude de l’extinction du noyau « both » à un palier fini.