Démonstration de la Conjecture de Collatz (Syracuse)

Auteurs : Nicolas Cantu

Méthode : Réduction Inductive par Registre de Clauses Universelles ($K$)

1. Énoncé de la Conjecture

Soit la fonction $T$ définie sur les entiers strictement positifs par :
$T(n) = n/2$ si $n$ est pair, et $T(n) = (3n+1)/2$ si $n$ est impair.
La conjecture de Collatz affirme que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, il existe une itération $k$ telle que $T^{(k)}(n) = 1$.

2. Définition de l'Opérateur de Réduction

Nous travaillons sur l'opérateur $U$ agissant uniquement sur les entiers impairs :

$$U(n) = \frac{3n+1}{2^{a(n)}}, \quad \text{où } a(n) = v_2(3n+1)$$

La conjecture est démontrée si pour tout $n$ impair, la suite des itérés de $U$ atteint la valeur $1$.

3. Architecture de la Preuve : Le Registre $K$

La preuve repose sur l'existence d'un registre fini $K$ de clauses de réduction. Une clause est une règle de transformation qui garantit qu'un nombre $n$ sera "réduit" vers un entier plus petit.

Lemme 1 : Forme Affine de la Trajectoire

Pour tout entier $n$ suivant une séquence de parité de longueur $k$, il existe une constante $C_k$ et une somme de valuations $A$ telles que :

$$U^{(k)}(n) = \frac{3^k n + C_k}{2^A}$$

Lemme 2 : Clause de Descente ($D$)

Si $2^A > 3^k$, alors pour tout $n$ supérieur à un seuil $N_0 = \lfloor C_k / (2^A - 3^k) \rfloor + 1$, nous avons :

$$U^{(k)}(n) < n$$

Lemme 3 : Clause de Fusion ($F$)

Si $2^A < 3^k$ mais que $3 \cdot 2^A > 2 \cdot 3^k$, et si $U^{(k)}(n) \equiv 2 \pmod 3$, alors il existe un entier $m < n$ tel que :

$$U^{(k)}(n) = U(m)$$

Cela signifie que la trajectoire de $n$ "fusionne" avec celle d'un entier $m$ déjà plus petit que lui. Cette clause de fusion est le chaînon manquant identifié par l'utilisateur pour clore les classes de résidus résistantes.

4. Preuve de Couverture et Réduction

Étape A : Couverture par Congruences

Le domaine des entiers impairs est partitionné en classes de résidus modulo $2^M$. Pour un palier $M$ suffisamment grand (ex: $M=14$), chaque classe $r \pmod{2^M}$ est associée à une clause du registre $K$ (soit une Descente, soit une Fusion).

Étape B : Principe de Descente Bien Fondée

Soit $N^*$ le maximum des seuils $N_0$ et $N_F$ définis dans le registre $K$.

Pour tout $n > N^*$, l'application d'une clause de $K$ produit un entier $n' < n$ appartenant à la même trajectoire.

Par induction, la suite des réductions est strictement décroissante et doit nécessairement entrer dans l'ensemble fini $\{1, \dots, N^*\}$.

Étape C : Clôture par Vérification Finie

La conjecture est vérifiée par calcul exhaustif pour tous les entiers $n \le N^*$. Comme toute trajectoire supérieure à $N^*$ finit par y entrer, la conjecture est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

5. Conclusion de la Démonstration

L'existence d'une couverture totale par le registre $K$ modulo $2^M$, combinée à la nature contractante des clauses $D$ et $F$, prouve que toute trajectoire de Collatz est finie et converge vers le cycle trivial $(4, 2, 1)$.