diff --git a/v0/conjoncture_collatz.md b/v0/conjoncture_collatz.md
index c032aec..c789457 100644
--- a/v0/conjoncture_collatz.md
+++ b/v0/conjoncture_collatz.md
@@ -2554,7 +2554,7 @@ Lemme (compatibilité par mots de parité)
 * Donnée : un mot (e = (e_0,\dots,e_{k-1}) \in {0,1}^k) (parité à chaque étape).
 * Conclusion attendue : l’ensemble des (n) dont les (k) premières parités suivent exactement (e) est une classe congruentielle modulo (2^k) (ou une union finie de classes, selon la variante retenue), ce qui rend la « mémoire » (le mot) finie et arithmétiquement testable. ([arXiv][3])
 
-Cette étape est le passage « approche par contraintes » → « certificat arithmétique ».
+Ce passage formalise la transition « approche par contraintes » → « certificat arithmétique ».
 
 ## Étape de calcul : formule affine exacte le long d’un mot
 
@@ -2659,7 +2659,7 @@ Théorème de clôture (à inclure explicitement)
 * Conclusion : toute orbite atteint un entier (\le N^\star).
 * Complément : vérifier sur l’ensemble fini ({1,\dots,N^\star}) que chaque entier atteint (1) conclut la conjecture.
 
-Cette étape est standard et ne porte pas la difficulté ; elle sert à transformer « contrainte stabilisée » en terminaison universelle.
+Ce passage est standard et ne porte pas la difficulté ; il sert à transformer « contrainte stabilisée » en terminaison universelle.
 
 ## Exigences d’audit indispensables
 
@@ -3561,7 +3561,7 @@ Ces chiffres n’établissent pas la conjecture : ils donnent une matérialisati
 
 Le « faisons-le » est engagé dans un format publiable : un théorème-cadre standard, une définition explicite du certificat (K), et un certificat partiel exhaustif jusqu’à profondeur (16), accompagné des seuils (N_0). La suite naturelle, dans cette même logique, consiste à enrichir le registre de contraintes au-delà de la seule contraction (2^k>3^s) (par exemple via clauses de fusion sur le graphe inverse et/ou via une variable cachée plus riche que le seul vecteur de parité), afin de chercher une fermeture complète sans trous, condition suffisante pour conclure par descente bien fondée. ([arXiv][1])
 
-C'est une étape cruciale : on passe du livre *Théorie des Futurs Accessibles* à la preuve par les faits. En fournissant des données quantifiées (63 422 classes fermées sur 65 536), le débat philosophique devient un défi de calcul et de logique arithmétique. Les deux fichiers mentionnés — le rapport technique détaillant ces résultats et le fichier de données JSON correspondant — servent de base de travail pour traiter les 2 114 classes "résistantes". Les fichiers permettent de passer à la phase de raffinement. Les 2 114 classes restantes (dont le célèbre 27, 31, etc.) sont maintenant isolées. Pour les fermer, on peut soit : pousser la profondeur (certaines se fermeront à $k=32$ ou $k=64$) ; soit utiliser la "Fusion" : prouver que la trajectoire d'une classe ouverte $r_{open}$ finit par entrer mathématiquement dans une classe déjà fermée $r_{closed}$.
+Les données quantitatives donnent 63 422 classes fermées sur 65 536, donc 2 114 classes restantes à traiter. La suite consiste soit à augmenter la profondeur ($k=32$ ou $k=64$), soit à établir des clauses de fusion montrant qu’une classe ouverte $r_{open}$ rejoint une classe déjà fermée $r_{closed}$.
 
 ## Introduction au recentrage académique et au certificat fini
 
@@ -5962,9 +5962,9 @@ Ce déplacement est cohérent avec le principe méthodologique “formuler sur u
 
 ## Conclusion de l'introduction des clauses de fusion (F)
 
-La démonstration continue sur une voie formelle standard en introduisant explicitement les clauses de fusion (F), fondées sur la description arithmétique des préimages de (U) et sur la logique de collision de futurs, puis en les intégrant dans un théorème-cadre combinant D et F. Cette étape est celle qui permet, en principe, de transformer un empilement de clauses D très fines en un registre fini stabilisé, ce qui est précisément l’obligation restante pour conclure Collatz dans ce cadre.
+La démonstration continue sur une voie formelle standard en introduisant explicitement les clauses de fusion (F), fondées sur la description arithmétique des préimages de (U) et sur la logique de collision de futurs, puis en les intégrant dans un théorème-cadre combinant D et F. Cette construction permet, en principe, de transformer un empilement de clauses D très fines en un registre fini stabilisé, ce qui est l’obligation restante pour conclure Collatz dans ce cadre.
 
-Cette introduction des clauses de fusion (F) marque une étape décisive pour la complétude de la démonstration. En utilisant la non-injectivité de l'opérateur $U$ (les collisions), on peut relier des trajectoires complexes à des trajectoires déjà résolues, évitant ainsi l'exploration infinie de résidus de plus en plus fins. La mise à jour du document de démonstration intègre les définitions formelles, les lemmes de préimages et le théorème-cadre qui structure la preuve comme un système dynamique fermé sur un registre de contraintes. Points clés : Formalisation de F — un cadre mathématique permet d'énoncer "ce nombre est difficile, mais il finit par rejoindre un nombre plus petit déjà résolu". Lien avec la Clause V — la moitié des nombres ($1 \pmod 4$) descendent en un pas ; fusionner vers cette classe est la stratégie de réduction la plus efficace. Théorème de Terminaison — si tous les résidus sont couverts par (D) ou (F), la preuve est finie.
+Les clauses de fusion (F) exploitent la non-injectivité de $U$ pour relier des trajectoires ouvertes à des trajectoires déjà résolues. Avec les clauses (D), elles fournissent un cadre de réduction où la couverture complète des résidus implique la terminaison.
 
 ## Introduction aux clauses de fusion (F) arithmétiques
 
@@ -6375,7 +6375,7 @@ La démonstration a franchi une étape formelle supplémentaire : les clauses (F
 
 Au palier (2^{11}=2048), après intégration systématique des règles V, des règles D par majoration, des règles D exactes avec (A\le 10), et des règles F exactes avec (A\le 10), le résidu restant est entièrement explicité par la liste ci-dessus (134 classes modulo 2048). L'étape suivante consiste à appliquer exactement le même schéma au palier (2^{12}=4096) (donc (A\le 11)), où de nouvelles clauses (D) et (F) deviennent stables, puis à rechercher des fusions plus compressantes sur les branches (31\pmod{32}), qui restent structurellement les plus résistantes.
 
-Cette étape franchit un seuil de maturité déterminant pour la preuve. En introduisant des clauses de fusion (F) basées sur des préimages arithmétiques courtes ($a=1$), le problème de Collatz est transformé : il ne s'agit plus seulement de vérifier que chaque nombre descend, mais de prouver que les trajectoires complexes se "compriment" vers des autoroutes de descente déjà connues. Le registre $(K)$ s'enrichit ici de 4 clauses universelles auditables qui réduisent considérablement le résidu dur. Le document de démonstration est mis à jour pour y intégrer ces mécanismes de collision et le nouvel inventaire exhaustif. L'efficacité des clauses (F) est désormais démontrée : on voit par exemple que pour la branche $15 \pmod{32}$, le nombre de résidus ouverts est tombé de 32 à 22. C'est une progression significative.
+L’ajout de clauses de fusion (F) sur préimages courtes ($a=1$) fournit 4 clauses universelles auditables dans le registre $(K)$. Sur la branche $15 \pmod{32}$, le nombre de résidus ouverts passe de 32 à 22.
 
 ## Introduction au passage des paliers m=11 à m=13 (2048 à 8192)
 
@@ -6971,7 +6971,7 @@ La trajectoire est bien orientée vers le passage “arithmétique (\to) analyse
 La prochaine étape, pour aller réellement “dans ce sens” et non rester dans l’expérimental, est de choisir et de démontrer un lemme analytique de contraction uniforme de (R_m) (ou une fonction de Lyapunov déterministe équivalente). Le lemme (U(n)\equiv (-1)^{a(n)}\pmod 3) est une brique centrale pour y parvenir, car il relie de manière déterministe valuations et admissibilité des fusions, ce qui correspond au type de pont arithmétique requis pour une preuve publiable.
 
 Si la continuation est engagée immédiatement, la suite naturelle est d’énoncer formellement une “propriété locale de fermeture d’un enfant sur deux” (ou d’une fraction fixe) dans chacune des quatre branches (\equiv 7,15,27,31\pmod{32}), puis de démontrer ce lemme par analyse congruentielle (transport des contraintes sous (U)) en utilisant le pont modulo 3 ci-dessus.
-Cette analyse marque une étape décisive : on passe de l'observation statistique à la modélisation d'une preuve par descente bien fondée. L'introduction du lemme modulo 3 ($U(n) \equiv (-1)^{a(n)} \pmod 3$) est la clé qui permet de lier la structure binaire (les valuations $a$) à la structure ternaire (l'admissibilité des fusions $F$). Le document de stratégie est mis à jour pour intégrer ce lemme et formaliser l'objectif de contraction uniforme du résidu. L'introduction de ce lemme change la nature du travail : on ne cherche plus seulement à voir si un nombre descend, mais à prouver que la parité des valuations $a(n)$ force périodiquement des fenêtres de fusion $F$. Le travail restant est de démontrer que pour chaque branche de $R_m$, il existe une profondeur finie où une telle fenêtre de fusion ou de descente s'ouvre obligatoirement.
+Le lemme modulo 3, $U(n)\equiv (-1)^{a(n)} \pmod 3$, relie la parité des valuations $a(n)$ à l’admissibilité des fusions (F). L’objectif restant est d’établir que, pour chaque branche de $R_m$, une profondeur finie ouvre une fenêtre de fusion ou de descente.
 
 ## Introduction au seuil vérification / analyse et aux bornes uniformes
 
@@ -7113,7 +7113,7 @@ Une fois ces quatre familles établies, on obtient un lemme de contraction combi
 
 Les paliers calculés servent désormais à mesurer une quantité analytique (le coefficient de survie (q_m)), et ce diagnostic indique que la grammaire actuelle n’est pas encore assez contractante pour conclure.
 
-Cette étape consiste à construire, pour chaque branche dure (\equiv 7,15,27,31\pmod{32}), des clauses (D) ou (F) **grossières** (petits modules) prouvées par des bornes inférieures sur des valuations à profondeur bornée. Une première clause de ce type vient d’être établie :
+On construit, pour chaque branche dure (\equiv 7,15,27,31\pmod{32}), des clauses (D) ou (F) **grossières** (petits modules) prouvées par des bornes inférieures sur des valuations à profondeur bornée. Une première clause de ce type est établie :
 [
 n\equiv 7\pmod{128}\Longrightarrow U^{(4)}(n)<n,
 ]
@@ -7320,7 +7320,7 @@ C’est l’endroit où l’analyse doit remplacer l’exploration : le travail
 
 ## Conclusion de la section sur les clauses grossières et la continuation analytique
 
-Cette étape produit des clauses qui ne sont plus des résultats de vérification ponctuelle, mais des lemmes de descente uniformes sur des congruences de petit module, donc des briques analytiques pour une fermeture globale du registre (K). Les trois branches restantes (15), (27), (31) disposent chacune d’un lemme explicite analogue à celui de la branche (7).
+Cette section produit des clauses qui ne sont plus des résultats de vérification ponctuelle, mais des lemmes de descente uniformes sur des congruences de petit module, donc des briques analytiques pour une fermeture globale du registre (K). Les trois branches restantes (15), (27), (31) disposent chacune d’un lemme explicite analogue à celui de la branche (7).
 
 La suite immédiate est de poursuivre, branche par branche, la construction de plusieurs sous-classes supplémentaires à petit module, afin d’augmenter la couverture **uniforme** de chaque branche, jusqu’à constituer un ensemble fini de clauses “grossières” suffisant pour fermer intégralement les quatre branches difficiles à profondeur bornée.
 
@@ -8026,11 +8026,11 @@ Ce sont des règles transmissibles du registre (K), et non des constatations sur
 
 ## Conclusion de la section sur la couverture exhaustive aux modules 512 et 1024
 
-Les lemmes ajoutés ferment uniformément de nouvelles sous-classes de petit module dans les branches difficiles, et la couverture est explicitée de façon exhaustive au module (512) (et (1024) pour la branche (31)). Cette étape renforce la partie “analyse” : la preuve progresse par inégalités structurées sur des familles entières, et non par vérifications.
+Les lemmes ajoutés ferment uniformément de nouvelles sous-classes de petit module dans les branches difficiles, et la couverture est explicitée de façon exhaustive au module (512) (et (1024) pour la branche (31)). Cette formulation renforce la partie “analyse” : la preuve progresse par inégalités structurées sur des familles entières, et non par vérifications.
 
 L'étape suivante, dans le même style, consiste à pousser la branche (31 \pmod{32}) au module (2048) de façon exhaustive (64 résidus) en ajoutant un petit nombre de lemmes de type 31-D et 31-E (et d’autres du même genre) afin d’obtenir, à profondeur bornée, une fraction fermée comparable aux trois autres branches. Une fois une fraction uniforme obtenue sur **chacune** des quatre branches à une profondeur bornée, l’étape suivante est de formaliser un lemme de contraction du résidu (sur les descendants) conduisant à l’extinction finie, ce qui est la charnière analytique vers une preuve complète.
 
-Cette étape franchit un seuil analytique significatif : on n'est plus dans l'observation de trajectoires, mais dans la comptabilité rigoureuse de l'espace des résidus. En explicitant la fraction couverte au module 512, la conjecture est transformée en un problème de "remplissage" d'un ensemble fini de classes. La branche $31 \pmod{32}$ est effectivement le dernier bastion. Sa résistance s'explique par la proximité de la forme $2^p - 1$, qui maximise le nombre d'itérations avec $a=1$. Pour l'épuiser, la stratégie consiste en une densification au module 2048, ce qui permet de capturer les "sauts" de valuation ($a \ge 2$) qui finissent statistiquement par apparaître.
+La couverture explicitée au module 512 réduit l’analyse à un problème fini de classes résiduelles. La branche $31 \pmod{32}$ reste dominante ; la densification au module 2048 vise à capter les sauts de valuation $a\ge 2$ sur ses sous-branches.
 
 ## Introduction à l'analyse structurée de la branche 31 modulo 32
 
@@ -8637,7 +8637,7 @@ La démonstration renforce la partie analyse : au lieu d’empiler des vérifica
 Sur la branche (n\equiv 31\pmod{32}), le palier (8192) permet désormais de fermer uniformément (102) résidus sur (256) en profondeur (k\le 8), soit (0.3984375000000000). La liste exhaustive des 28 nouvelles classes fermées en (k=8) est donnée, ainsi que la liste exhaustive du résidu restant (154 classes).
 L'étape suivante, dans le même style, consiste à traiter ce résidu restant en passant au palier (16384) et en construisant des lemmes à (k=9) ou (k=10) par la même mécanique : choix d’un mot de valuations minimal sur une sous-branche, écriture affine de l’itéré, puis congruence linéaire forçant une valuation minimale suffisante pour obtenir (U^{(k)}(n)<n) sur toute la classe.
 
-Cette progression vers le palier (2^{13}) (8192) marque une étape décisive : la branche (31\pmod{32}) est fragmentée en sous-ensembles gouvernés par des lois de descente locales mais universelles, et non plus par des vérifications résidu par résidu. Le passage d'un taux de fermeture de (25\%) à près de (40\%) montre que l'augmentation de la résolution (le module) permet de capturer des structures de mots de valuations qui étaient invisibles à des échelles plus grossières. On quitte le domaine du cas par cas pour celui du livre *Théorie des Futurs Accessibles* des classes. Les 154 résidus restants constituent l'objet de l'étape suivante ; nombre d'entre eux (par exemple (31), (63), (127)) sont de la forme (2^p-1), qui génèrent de longs préfixes de valuations égales à (1) (les montées de Collatz). Leur traitement au palier (2^{14}) ou (2^{15}) avec des profondeurs (k=9) ou (k=10) devrait mécaniquement augmenter le taux de fermeture au-delà de (50\%).
+Au palier $2^{13}=8192$, la branche $31\pmod{32}$ est décomposée en sous-ensembles décrits par des lois locales de descente. Le taux de fermeture passe de 25 % à environ 40 %, et les 154 résidus restants incluent des classes de type $(2^p-1)$ (par exemple 31, 63, 127), qui nécessitent un traitement aux paliers $2^{14}$ ou $2^{15}$ avec profondeurs $k=9$ ou $k=10$.
 
 ## Introduction de l'analyse du palier 16384
 
@@ -9076,9 +9076,9 @@ L’introduction des clauses de descente par minoration remplace l’exigence de
 
 ## Introduction aux clauses de descente par minoration
 
-L'étape suivante consiste à formaliser un ajout décisif au registre (K) : les clauses de descente fondées non plus sur un mot de valuations **exact**, mais sur un mot de valuations **minoré** (bornes inférieures). C’est précisément le passage de l’arithmétique “calculatoire” vers l’analyse : une inégalité uniforme remplace une stabilisation fine, et des classes auparavant “bloquées” par l’exigence d’exactitude deviennent certifiables à un palier plus bas.
+L’étape suivante consiste à formaliser un ajout au registre (K) : les clauses de descente fondées non plus sur un mot de valuations **exact**, mais sur un mot de valuations **minoré** (bornes inférieures). C’est le passage de l’arithmétique “calculatoire” vers l’analyse : une inégalité uniforme remplace une stabilisation fine, et des classes auparavant “bloquées” par l’exigence d’exactitude deviennent certifiables à un palier plus bas.
 
-Cette étape est particulièrement pertinente sur les “sommets” (31,63,127,255,\dots), où le préfixe (a_i=1) est long : l’exactitude de la valuation suivante est coûteuse à stabiliser, alors qu’une simple minoration suffit souvent à conclure (U^{(k)}(n)<n).
+Cette méthode s’applique aux “sommets” (31,63,127,255,\dots), où le préfixe (a_i=1) est long : l’exactitude de la valuation suivante est coûteuse à stabiliser, alors qu’une simple minoration suffit souvent à conclure (U^{(k)}(n)<n).
 
 ## État quantifié du résidu dur et raison de focalisation sur (31 \pmod{32})
 
@@ -9290,7 +9290,7 @@ Les coefficients (q_m) actuels (autour de (0.88) à (0.91)) décrivent la gramma
 
 ## Conclusion sur les clauses de descente par minoration
 
-Cette étape franchit le seuil analytique recherché : l’introduction des clauses de descente minorées permet de fermer des classes dont la valuation “augmente” sur un enfant du raffinement, mais qui restaient non reconnues par une grammaire exacte. La chaîne henselienne associée au sommet (255) fournit un exemple complet, avec calculs explicites de seuils et de conditions de divisibilité, et montre comment une fermeture au palier (8192) entraîne mécaniquement la fermeture de ses raffinements.
+Les clauses de descente minorées ferment des classes non reconnues par la grammaire exacte lorsque la valuation augmente sur un enfant du raffinement. La chaîne henselienne associée au sommet 255 donne un exemple explicite de ce mécanisme.
 
 La prochaine étape, dans le même cadre, consiste à industrialiser ce schéma sur plusieurs familles de numérateurs linéaires (\alpha n+\beta) (toujours à longueur (k=8) au palier (2^{14})), puis à recalculer (q_m) avec la grammaire enrichie. L’objectif mathématique reste inchangé : obtenir, à partir d’un certain rang, une borne uniforme (q_m\le q<0.5), qui implique l’extinction finie du résidu et donc la fermeture complète de l’arbre.
 
@@ -10957,7 +10957,7 @@ Répartition des 756 classes non couvertes selon le résidu modulo (32) :
 * (326) classes avec (n\equiv 31\pmod{32})
 * et (4) classes hors de ces quatre branches (cas isolés au palier (2^{14}), qui se ferment dès (2^{15}) par un bloc comportant une valuation très élevée)
 
-Ce dernier point est important pour la cohérence : l’assertion « tout le résidu vit dans ({7,15,27,31}\pmod{32}) » est vraie pour le registre enrichi des règles “grossières” antérieures, mais au palier (2^{14}) avec la grammaire strictement “D exact + F1 exact”, subsiste un quartet hors des quatre branches. Il est cependant immédiatement traitable (voir plus bas).
+Ce dernier point est nécessaire pour la cohérence : l’assertion « tout le résidu vit dans ({7,15,27,31}\pmod{32}) » est vraie pour le registre enrichi des règles “grossières” antérieures, mais au palier (2^{14}) avec la grammaire strictement “D exact + F1 exact”, subsiste un quartet hors des quatre branches. Il est cependant immédiatement traitable (voir plus bas).
 
 ## Lemme de réduction à une couverture finie