diff --git a/v0/conjoncture_collatz.md b/v0/conjoncture_collatz.md
index 30e041d..0ae0d97 100644
--- a/v0/conjoncture_collatz.md
+++ b/v0/conjoncture_collatz.md
@@ -3540,8 +3540,8 @@ Un dossier de travail a été rédigé et accompagné d’un certificat partiel
 
 Téléchargements :
 
-* [collatz_certificat_partiel_depth16.md](sandbox:/mnt/data/collatz_certificat_partiel_depth16.md)
-* [collatz_certificat_partiel_depth16.json](sandbox:/mnt/data/collatz_certificat_partiel_depth16.json)
+* [collatz_certificat_partiel_depth16.md](collatz_certificat_partiel_depth16.md)
+* [collatz_certificat_partiel_depth16.json](collatz_certificat_partiel_depth16.json)
 
 ## Résultat quantifié du certificat partiel à profondeur 16
 
@@ -6624,8 +6624,8 @@ Les listes exhaustives de résidus non couverts à chaque palier sont fournies d
 
 Téléchargements :
 
-* [registreK_paliers_m11_m16.md](sandbox:/mnt/data/registreK_paliers_m11_m16.md)
-* [registreK_paliers_m11_m16.json](sandbox:/mnt/data/registreK_paliers_m11_m16.json)
+* [registreK_paliers_m11_m16.md](registreK_paliers_m11_m16.md)
+* [registreK_paliers_m11_m16.json](registreK_paliers_m11_m16.json)
 
 ## Résultats synthétiques sur les paliers (m=11) à (m=16)
 
@@ -11587,3 +11587,149 @@ Le document joint contient :
 La démonstration continue en consolidant la partie “toile” : à chaque palier, la complétion par clauses minorées élimine les bifurcations « one ». Au palier (2^{16}), le résidu passe de (2446) à (2202) et le coefficient de survie passe de (0.9092936802973978) à (0.8182156133828996).
 
 La suite est maintenant entièrement concentrée sur le noyau « both » : montrer qu’il ne peut pas persister indéfiniment lorsque les familles de fusions (t=6,7) et les descentes stabilisées aux paliers (2^{14}) et (2^{15}) sont combinées avec la complétion systématique.
+
+## Introduction de la section sur la base projective du noyau both
+
+La continuation naturelle est de quitter la simple mécanique « one ⇒ fermeture minorée » pour entrer dans le cœur : caractériser et attaquer le noyau « both ». La bonne nouvelle, démontrable à partir des paliers déjà audités, est qu’il existe une réduction structurale très forte : dès (m=12), tous les noyaux « both » se projettent sur une base fixe modulo (4096). Cela transforme le problème d’un résidu de taille croissante en un problème de fermeture d’un **ensemble fini de 192 classes**.
+
+Le document joint formalise cette réduction avec listes exhaustives et comptages.
+
+[Base projective du noyau both](noyau_both_base_4096.md)
+
+## Étape A : un fait structurel à utiliser comme lemme
+
+On note (R_m) l’ensemble des résidus impairs non couverts modulo (2^m) par le registre exact actuel (D exactes + F exactes). On note (B_m\subset R_m) l’ensemble des parents « both » au passage (m\to m+1), c’est-à-dire les résidus (r\in R_m) dont les deux enfants (r) et (r+2^m) appartiennent à (R_{m+1}).
+
+La complétion par frères (lemme de frère) ferme systématiquement tous les cas « one ». Après complétion, le résidu au niveau (m+1) est exactement la double descendance de (B_m).
+
+Ce point étant acquis, l’énoncé utile est :
+
+Proposition (base projective)
+À partir de (m=12), la projection modulo (4096) des noyaux « both » est constante :
+[
+B_{13}\bmod 4096 = B_{12},\qquad
+B_{14}\bmod 4096 = B_{12},\qquad
+B_{15}\bmod 4096 = B_{12}.
+]
+Autrement dit, toute persistance du noyau « both » à des paliers plus fins correspond à des relèvements (lifts) d’un ensemble fixe de 192 résidus modulo (4096), noté (B_{12}).
+
+Preuve
+Elle est finie et auditable : elle consiste à prendre les ensembles (B_{13},B_{14},B_{15}) définis à partir des ensembles (R_{13},R_{14},R_{15},R_{16}) (eux-mêmes fournis par les paliers (m=11) à (m=16)), puis à vérifier l’égalité des ensembles projetés modulo (4096). Cette vérification est exécutée et documentée dans le fichier joint.
+
+## Étape B : quantification exacte des noyaux « both » déjà observés
+
+Les cardinaux (registre exact) sont les suivants :
+
+* (m=11) : (|R_{11}|=134), (|B_{11}|=102)
+  [
+  q_{11}^{\mathrm{comp}}=\frac{|B_{11}|}{|R_{11}|}
+  =\frac{102}{134}
+  =0.7611940298507462
+  ]
+
+* (m=12) : (|R_{12}|=236), (|B_{12}|=192)
+  [
+  q_{12}^{\mathrm{comp}}=\frac{192}{236}
+  =0.8135593220338984
+  ]
+
+* (m=13) : (|R_{13}|=428), (|B_{13}|=324)
+  [
+  q_{13}^{\mathrm{comp}}=\frac{324}{428}
+  =0.7570093457943925
+  ]
+
+* (m=14) : (|R_{14}|=752), (|B_{14}|=593)
+  [
+  q_{14}^{\mathrm{comp}}=\frac{593}{752}
+  =0.7885638297872340
+  ]
+
+* (m=15) : (|R_{15}|=1345), (|B_{15}|=1101)
+  [
+  q_{15}^{\mathrm{comp}}=\frac{1101}{1345}
+  =0.8185873605947955
+  ]
+
+Remarque de cohérence
+Une valeur (0.8182156133) a été mentionnée plus haut pour (q_{15}^{\mathrm{comp}}). Elle est arithmétiquement incompatible avec les cardinaux (|B_{15}|=1101) et (|R_{15}|=1345). La valeur correcte est :
+[
+\frac{1101}{1345}
+=================
+
+# \frac{2202}{2690}
+
+0.8185873605947955.
+]
+
+## Étape C : relèvements et “épaisseur” du noyau
+
+Le passage (B_{12}\to B_{13}\to B_{14}\to B_{15}) peut être vu comme une croissance par relèvements :
+
+Chaque résidu (r) modulo (2^m) a deux relèvements modulo (2^{m+1}) : (r) et (r+2^m). On peut compter, pour chaque élément de la base, combien de relèvements restent dans le noyau au niveau supérieur.
+
+Comptes exacts (issus du document joint) :
+
+Relèvement (B_{12}\to B_{13}) (mod (4096\to 8192))
+
+* 2 relèvements : 132 résidus
+* 1 relèvement : 60 résidus
+
+Relèvement (B_{13}\to B_{14}) (mod (8192\to 16384))
+
+* 2 relèvements : 269 résidus
+* 1 relèvement : 55 résidus
+
+Relèvement (B_{14}\to B_{15}) (mod (16384\to 32768))
+
+* 2 relèvements : 508 résidus
+* 1 relèvement : 85 résidus
+
+Lecture
+Le noyau « both » ne “s’amincit” pas spontanément avec la seule complétion par frères ; au contraire, une part croissante des classes admet ses deux relèvements dans le noyau. Cela justifie le point stratégique déjà identifié : la complétion supprime une catégorie de survie (« one »), mais ne suffit pas à elle seule à faire chuter (q_m^{\mathrm{comp}}) sous (0.5). Il faut donc ajouter des règles exactes (D, F) qui attaquent directement (B_m).
+
+## Étape D : ce que cette réduction change pour la preuve
+
+À partir d’ici, l’objectif n’est plus “tuer (B_{15})” à (32768) en l’état, mais prouver une fermeture au niveau de la base (B_{12}) :
+
+Objectif de clôture reformulé
+Montrer qu’il existe un ensemble fini de clauses supplémentaires (D exactes, F exactes, et leurs complétions minorées) telles que, pour tout résidu (r\in B_{12}), aucun relèvement à partir d’un certain palier ne peut rester dans le noyau « both ». Formellement :
+[
+\exists M\ge 12,\ \forall r\in B_{12},\ \text{tous les relèvements de }r\text{ modulo }2^M\text{ sont couverts}.
+]
+
+Une fois cet énoncé prouvé, la toile est fermée : la persistance d’un noyau « both » à tous les paliers devient impossible, donc le résidu s’éteint à un palier fini, donc le registre fini couvre tout au-delà d’un seuil global (N^*), donc Collatz suit par descente bien fondée et vérification finie.
+
+## Étape E : la continuation technique immédiate
+
+Le travail suivant se décompose en deux sous-preuves finies, alignées avec la méthode.
+
+Couche « fusion »
+Construire de nouvelles familles de clauses de fusion (F) au-delà des seules fusions minimales déjà utilisées. Les seuils structurels montrent que les fusions sont particulièrement efficaces aux horizons (t=6) et (t=7) :
+
+* (t=6) : fusion possible dès (A\ge 9) (au lieu de (A\ge 10) pour descente)
+* (t=7) : fusion possible dès (A\ge 11) (au lieu de (A\ge 12) pour descente)
+
+L’étape concrète consiste à énumérer, de façon finie et auditable, toutes les classes modulo (2^{A+1}) associées aux mots de valuations de longueur (t\in{6,7}) et de sommes (A\le 14) (stabilisables au palier (m=15)), puis à ne garder que celles qui satisfont la condition de contraction (\Delta_F>0) et une condition de congruence modulo (3) assurant la préimage courte.
+
+Couche « blocs contractifs stables »
+À (m\ge 14), les blocs (k=8,A=13) deviennent stables. L’enjeu est d’ajouter, de manière systématique, les clauses exactes (D) associées à ces blocs et surtout leurs versions minorées pour fermer les “frères” dès le bon palier. Cette couche est destinée à attaquer les sous-branches proches des “sommets” (préfixes longs de (a_i=1)).
+
+## Audit fourni
+
+Le fichier joint contient :
+
+* la table des cardinaux (|R_m|), (|B_m|) et (q_m^{\mathrm{comp}}) pour (m=11) à (m=15),
+* la preuve finie de l’invariance projective modulo (4096),
+* les multiplicités de relèvement à chaque transition,
+* la liste exhaustive de la base (B_{12}) (192 résidus impairs modulo (4096)).
+
+[Base projective du noyau both](noyau_both_base_4096.md)
+
+## Conclusion de la section sur la base projective du noyau both
+
+La démonstration avance d’un pas conceptuel majeur : le noyau « both », qui est l’unique obstacle après complétion par frères, n’est pas un objet “qui grossit sans structure”. Il est déjà déterminé, à partir de (m=12), par une base finie modulo (4096) de 192 résidus, dont tous les noyaux ultérieurs sont des relèvements. Cela transforme la fin de preuve en un objectif parfaitement standard : exhiber un ensemble fini de clauses (D, F, et D minorées) qui ferme tous les relèvements de cette base à un palier fini.
+
+La continuation immédiate consiste donc à construire, de façon exhaustive et auditable, les familles de fusions et de blocs contractifs supplémentaires capables d’attaquer directement cette base (B_{12}), puis à montrer que la projection du noyau « both » devient vide à un palier (2^M).
+
+La réduction à une base projective de 192 résidus modulo 4096 reformule l’obstacle final en problème fini de fermeture de relèvements. La suite de la preuve consiste à construire un ensemble fini de clauses (D), (F) et (D minorées) couvrant tous les relèvements de cette base à un palier (2^M), puis à conclure par extinction du noyau « both ».
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